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1 利用函數連續(xù)性求極限 代入法 2 用恒等變形消去零因子法求極限 3 用同除一個函數的方法求型極限 最高次項系數之比 4 利用兩個重要極限求極限 5 利用無窮小性質求極限 6 利用等價無窮小代換求極限 7 利用極限存在的兩個準則求極限 8 從左 右極限求分段函數在分界點處的極限 9 用洛必達法則求未定式的極限 1 極限求法小結 2 判定極限存在的準則 準則I夾逼準則 定理 若在內 或當時 有不等式成立 且則 1 2 3 兩個重要極限 定義 4 無窮小的比較 5 定理 等價無窮小替換定理 常用等價無窮小 6 連續(xù)的定義 定理 連續(xù)的充要條件 單側連續(xù) 1 跳躍間斷點 2 可去間斷點 7 間斷點的分類 跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點 特點 可去型 第一類間斷點 跳躍型 無窮型 振蕩型 第二類間斷點 第二類間斷點 定理 有界性定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數一定在該區(qū)間上有界 定理 最大值和最小值定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數一定有最大值和最小值 8 閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質 推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值 9 導數的定義 2 右導數 單側導數 1 左導數 10 基本導數公式 常數和基本初等函數的導數公式 11 求導法則 1 函數的和 差 積 商的求導法則 2 反函數的求導法則 3 復合函數的求導法則 4 對數求導法 先在方程兩邊取對數 然后利用隱函數的求導方法求出導數 適用范圍 5 隱函數求導法則 用復合函數求導法則直接對方程兩邊求導 6 參變量函數的求導法則 用定義 寫成分段函數再求導 含絕對值符號的函數怎么求導 在分段點處怎么求導 分段函數的求導 12 高階導數 記作 二階導數的導數稱為三階導數 二階和二階以上的導數統(tǒng)稱為高階導數 高階導數的求法 1 由高階導數的定義逐步求高階導數 2 求出1 3或4階后 分析結果的規(guī)律性 寫出n階導數 數學歸納法證明 3 利用已知的高階導數公式 通過四則運算 變量代換等方法 求n階導數 常用高階導數公式 高階導數的運算法則 萊布尼茲公式 13 微分的定義 定義 微分的實質 導數與微分的關系 定理 14 微分的求法 求法 計算函數的導數 乘以自變量的微分 基本初等函數的微分公式 函數和 差 積 商的微分法則 15 微分的基本法則 微分形式的不變性 羅爾中值定理 3 f a f b 減少一個條件 推廣 16 幾何解釋 曲線y f x 至少有一條水平切線 三個微分中值定理 拉格朗日中值定理 3 f a f b 3 f a f b 1 幾何解釋 曲線y f x 至少有一條切線平行于連接曲線端點的弦 柯西中值定理 1 1 曲線至少有一條切線平行于連接曲線端點的弦 幾何解釋 曲線的參數式方程 x為參數 18 洛必達法則 定義這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則 關鍵 將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型 注意 洛必達法則的使用條件 2o 及時求出已定式的極限 1o 需要先驗證條件 19 導數的應用 定理 1 函數單調性的判定法 定義 2 函數的極值及其求法 定理 必要條件 定義 函數的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 使函數取得極值的點稱為極值點 極值是函數的局部性概念 極大值可能小于極小值 極小值可能大于極大值 駐點和不可導點統(tǒng)稱為臨界點 定理 第一充分條件 定理 第二充分條件 求極值的步驟 步驟 1 求駐點和不可導點 2 求區(qū)間端點及駐點和不可導點的函數值 比較大小 那個大那個就是最大值 那個小那個就是最小值 注意 如果區(qū)間內只有一個極值 則這個極值就是最值 最大值或最小值 3 最大值 最小值問題 實際問題求最值應注意 1 建立目標函數 2 求最值 20 曲線的凹凸與拐點 定義 定理1 方法1 方法2 21 給定函數y f x 求其鉛直漸近線及斜漸近線 兩者的聯系與區(qū)別 聯系 它們的導數相同 都是f x 原函數是不定積分中的一個函數 區(qū)別 不定積分是函數族 22 原函數與不定積分 微分運算與求不定積分的運算是互逆的 不定積分的性質 23 基本積分公式 第二換元 分步積分 分步積分 第二換元 用第二換元法算得 25 第一類換元法 24 直接積分法 第一類換元公式 湊微分法 由定義直接利用基本積分表與積分的性質求不定積分的方法 常見類型 湊微分練習 反用第一換元法 常用的代換有三角代換 雙曲代換 倒代換等 用于 是否需要其它的代換 具體問題 具體分析 26 第二類換元法 27 分部積分法 分部積分公式 選擇u的有效方法 反對冪三指 哪個在前哪個選作u 28 幾種特殊類型函數的積分 1 有理函數的積分 定義 兩個多項式的商表示的函數稱之 真分式化為部分分式之和的待定系數法 四種類型分式的不定積分 2 某些無理函數 有理化 為使其有理化 只需作變換 先配方 再作三角代換 即可有理化 關于不定積分的幾點說明 1 原函數存在 但不是初等函數 或至少不是有限形式 的不定積分 有人稱為可積但 積不出來 已經證明 積不出來 的積分有 2 對于較難的積分 首先考慮使用湊微分法 其次看可否用三角代換或分部分積法積出來 最后再依被積函數所屬類型選擇積分方法 3 使用積分表 3 證明 討論 由零點定理知 綜上 4 解 解法討論 8 解 要使在處可導 必須使之在處連續(xù) 故必有于是 在各段內部是初等函數 故只需討論分段點處的情況 16 設曲線方程為則 A 曲線沒有漸近線 B 是曲線的漸近線 C 是曲線的漸近線 D 是曲線的漸近線 解因為所以是曲線的水平漸近線 17 在曲線上求一點使點處的切線與及所圍成的三角形的面積最大 求的坐標 解切線方程為即 切線與的交點為 與的交點為 所圍三角形面積為 由問題的實際意義可知 有最大值而無最小值 故也就是最大值點 此時即所求點為 18 解 奇函數 列表如下 極大值 拐點 極小值 作圖 21 計算下列不定積分