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專題30 復數的概念及運算 本專題特別注意： 1.復數四則運算 2. 復數加減的幾何意義 3. 復數與數列的綜合 4.復數與二項式定理的綜合問題 5. 復數的模和共軛復數問題 【學習目標】 1．理解復數的有關概念，掌握復數相等的充要條件，并會應用． 2．了解復數的代數形式的表示方法，能進行復數的代數形式的四則運算． 3．了解復數代數形式的幾何意義及復數的加、減法的幾何意義，會簡單應用． 【方法總結】 1.設z＝a＋bi(a，b∈R)，利用復數相等的充要條件轉化為實數問題是求解復數常用的方法. 2.實數的共軛復數是它本身，兩個純虛數的積是實數. 3.復數問題幾何化，利用復數、復數的模、復數運算的幾何意義，轉化條件和結論，有效利用數和形的結合，取得事半功倍的效果. 【高考模擬】 一、單選題 1．已知，其中是虛數單位，是復數的共軛復數，則復數（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 化簡原式，利用復數的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復數，求得復數，從而可得結果. 【詳解】 ， ，故選C. 【點睛】 復數是高考中的必考知識，主要考查復數的概念及復數的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數、共軛復數這些重要概念，復數的運算主要考查除法運算，通過分母實數化轉化為復數的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分. 2．已知是虛數單位，則復數在復平面上所對應的點的坐標為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 將復數的分子分母同乘以1+i，利用多項式的乘法分子展開，求出對應的點的坐標． 【點睛】 本題考查復數的代數表示法及其幾何意義，復數的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復數． 3．（2017太原市一模）已知是虛數單位，則復數的共軛復數是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用復數的除法計算后取所得結果的共軛即可. 【詳解】 ，故所求共軛復數為，故選A. 【點睛】 本題考察復數的概念及其運算，是基礎題. 4．已知為虛數單位，復數，則下列命題為真命題的是（ ） A． 的共軛復數為 B． 的虛部為-1 C． 在復平面內對應的點在第一象限 D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先化簡復數z,再判斷每一個選項的真假. 【點睛】 (1)本題主要考查復數的計算，考查復數的幾何意義、實部虛部和模的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2) 復數的實部是a,虛部為b，不是bi. 5．歐拉公式 (為虛數本位）是瑞士數學家歐拉發(fā)明的，將指數的定義域擴大到復數集，建立了三角函數和指數函數的聯系，被譽為“數學中的天橋”.根據歐拉公式可知，表示的復數的模為( ) A． B． C． 1 D． 【答案】C 【解析】 【分析】 直接由題意可得=cos+isin，再由復數模的計算公式得答案． 【詳解】 由題意，=cos+isin， ∴表示的復數的模為． 故選：C． 【點睛】 本題以歐拉公式為背景，考查利用新定義解決問題的能力，考查了復數模的求法，屬于基礎題． 6．若在復平面內，點所對應的復數為，則復數的虛部為（ ） A． 12 B． 5 C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先求復數z,再求復數，再求它的虛部. 【詳解】 【點睛】 (1)本題主要考查復數的運算和復數的虛部概念，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2) 復數的實部是a,虛部為b，不是bi. 7．讀了高中才知道，數絕對不止1,2,3啊，比如還有這種奇葩數，他的平方居然是負數！那么復數在復平面內對應的點位于 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 運用復數除法法則運算得到結果 【詳解】 由題意得， 在復平面內對應的點為在第一象限， 故選 【點睛】 本題考查了復數的幾何意義，根據復數除法法則進行運算化成的形式即可得到答案 8．已知是虛數單位，復數是的共軛復數，復數，則下面說法正確的是（ ） A． 在復平面內對應的點落在第四象限 B． C． 的虛部為1 D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用復數的運算法則可得復數=2i﹣2，再根據復數的幾何意義、虛部的定義、模的運算性質即可得出． 【詳解】 故選：C． 【點睛】 本題考查了復數的運算法則、復數的幾何意義、虛部的定義、模的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題． 9．設復數滿足，則（ ） A． 3 B． C． 9 D． 10 【答案】A 【解析】 【分析】 利用復數的運算法則、共軛復數的性質、模的計算公式即可得出． 【詳解】 【點睛】 本題考查了復數的運算法則、共軛復數的性質、模的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題． 10．復數等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 化簡分式，分子、分母分別平方，再按照復數的除法運算法則化簡可得結果. 【詳解】 ，故選：C 【點睛】 本題主要考查了復數代數形式的運算，是基礎題． 11．設為復數的共軛復數，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出，從而求出的值即可. 【詳解】 ， 共軛復數， 則. 故選：A. 【點睛】 本題考查復數的運算性質以及共軛復數，是一道基礎題. 12．為虛數單位，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析：由復數的基本運算性質,可得，其中為自然數， 則，即可求解答案. 點睛：本題主要考查了虛數的運算性質的應用，其中熟記虛數的運算性質，利用乘公比錯誤相減法求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力. 13．歐拉公式（為虛數單位）是由瑞士著名數學家歐拉發(fā)明的，他將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里占有非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”.根據歐拉公式可知，表示的復數在復平面中位于（ ） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 【答案】B 【解析】分析：由歐拉公式，可得，結合三角函數值的符號，即可得出結論. 詳解：由歐拉公式，可得， 因為， 所以表示的復數在復平面中位于第二象限，故選B. 點睛：該題考查的是有關復數對應的點在第幾象限的問題，在解題的過程中，首先應用歐拉公式將復數表示出來，之后借助于三角函數值的符號求得結果. 14．下列3個命題： ①若，，則； ②若是純虛數，則； ③若，且，則. 其中真命題的個數是（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 【答案】B 【解析】分析：通過舉反例可判斷①錯誤，由復數的乘法法則判斷②正確，由復數的概念可判斷③錯誤. 點睛：本題以命題的真假判斷為載體考查了復數的基本概念和性質，特殊值排除法常可用于此類問題的求解. 15．對于任意的兩個數對和，定義運算，若，則復數為 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析：利用定義，列出方程表示出，分子、分母同時乘以得到的值． 詳解：因為， 又 所以 所以 故選：D． 點睛：本題是新定義的問題，解題的關鍵是理解新定義，將問題轉化為熟悉的問題來解決． 16．已知復數滿足,則等于( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析：由題可知，表示平行四邊形的相鄰兩邊，表示平行四邊形的一條對角線，求另一條一條對角線的長. 點睛：本題考查復數加減法的幾何意義，余弦定理等，屬中檔題. 17．定義運算，若復數滿足，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析：先根據定義運算化簡求出復數z,再求 詳解：由題得iz+z=-2,所以（1+i）z=-2,所以， 所以，故答案為：D. 點睛：（1）本題主要考查復數的運算和共軛復數，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2) 復數的共軛復數 18．歐拉公式(為虛數單位)，是由著名數學家歐拉發(fā)明的，他將指數函數定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里占有非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”.根據歐拉公式，若將表示的復數記為，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分析：由歐拉公式可求得，再由復數代數形式的乘法運算化簡得結論. 詳解：， ，故選A. 點睛：復數是高考中的必考知識，主要考查復數的概念及復數的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數、共軛復數這些重要概念，復數的運算主要考查除法運算，通過分母實數化轉化為復數的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分. 19．對于復數，給出下列三個運算式子：（1），（2），（3）.其中正確的個數是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析：根據復數的幾何意義可得（1）正確；根據復數模的公式計算可得到（2）正確；根據復數乘法運算法則可判斷（3）正確，從而可得結果. 點睛：本題主要考查復數模的公式、復數的幾何意義、復數乘法的運算法則，意在考查基礎知識掌握的熟練程度，以及綜合運用所學知識解決問題的能力，屬于難題. 20．為虛數單位，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析：由復數的基本運算得到， 即，即可求解答案. 詳解：由復數的運算可知，， 則， 所以， 故選C. 點睛：本題主要考查了虛數的運算性質的應用，其中熟記虛數的運算性質，得到式子的計算規(guī)律是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力. 21．（1）設集合，，，且，求實數的取值范圍. （2）設，是兩個復數，已知，，且是純虛數，求. 【答案】(1) . （2）或. 【解析】 【分析】 （1）移項通分，直接利用分式不等式的解法化簡集合，然后對分三種情況討論，分別利用包含關系列不等式求解即可；（2）設，由，可得，由是純虛數，可得，聯立求解即可的結果. 【詳解】 （2）解：設，∵，∴ +b2=2√2， 即，① 又，且是純虛數， ∴②， 由①②得，. ∴或. 【點睛】 本題主要考查集合的子集，以及復數的基本運算與基本概念，屬于中檔題. 復數是高考中的必考知識，主要考查復數的概念及復數的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數、共軛復數這些重要概念，復數的運算主要考查除法運算，通過分母實數化轉化為復數的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分. 22．已知 【答案】 【解析】 【分析】 把z1、z2代入關系式，化簡即可 【詳解】 【點睛】 復數的運算，難點是乘除法法則，設， 則， . 23．已知復數其中i為虛數單位． Ⅰ當實數m取何值時，復數z是純虛數； Ⅱ若復數z在復平面上對應的點位于第四象限，求實數m的取值范圍． 【答案】（1） （2） 【解析】分析：， 利用純虛數的定義，由，解出即可得出． 利用復數的幾何意義，由題意得，解出即可得出． 點睛：本題考查了復數的有關知識、不等式的解法、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 24．已知復數滿足: 求的值 【答案】 【解析】分析：利用復數的運算法則、模的計算公式、復數相等即可得出. 詳解： 設，而即 則 點睛：本題考查了復數的運算法則、復數相等，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題,復數問題高考必考，常見考點有：點坐標和復數的對應關系，點的象限和復數的對應關系，復數的加減乘除運算，復數的模長的計算. 25．已知，，為實數. （1）若，求； （2）若，求實數，的值. 【答案】（1）；（2）-3，2 【解析】分析：（1）利用復數乘法的運算法則以及共軛復數的定義化簡，利用復數模的公式求解即可；（2）利用復數除法的運算法則將，化為，由復數相等的性質可得，從而可得結果. 點睛：復數是高考中的必考知識，主要考查復數的概念及復數的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數、共軛復數這些重要概念，復數的運算主要考查除法運算，通過分母實數化轉化為復數的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分 26．已知復數.實數取什么值時，是 （1）實數？ （2）虛數？ （3）純虛數？ 【答案】(1) 當時，為實數. (2) 當 時，為虛數. (3) 不存在實數使得為純虛數. 【解析】分析：根據復數的有關概念建立等量關系關系即可． 詳解：（1）若復數是實數則， 即，即a=6． 點睛：本題主要考查復數的有關概念，根據實部和虛部的對應關系是解決本題的關鍵． 27．設為虛數單位，為正整數， （1）證明：； （2），利用（1）的結論計算。 【答案】(1)證明見解析. (2) . 【解析】分析：（1）利用數學歸納法先證明，先證明當時成立，假設當時，命題成立，只需證明當時，命題也成立，證明過程注意三角函數和差公式的應用；（2）由（1）結論得 ，結合誘導公式與特殊角的三角函數可得結果. 詳解：（1）1當時， 左邊，右邊， 所以命題成立 2假設當時，命題成立， 即， 則當時， 所以，當時，命題也成立 綜上所述，（為正整數）成立 （2） 由（1）結論得 點睛：本題主要考查復數的運算、誘導公式、特殊角的三角函數、歸納推理的應用以及數學歸納法證明，屬于中檔題.利用數學歸納法證明結論的步驟是:(1)驗證時結論成立；（2）假設時結論正確，證明時結論正確（證明過程一定要用假設結論）；（3）得出結論. 28．已知復數（為虛數單位，）. （1）若是實數，求的值； （2）若復數在復平面內對應的點位于第四象限，求的取值范圍. 【答案】(1) (2) 【解析】分析：（1）由復數的運算法則可得.據此得到關于實數m的方程組，解得. （2）結合(1)中的結果得到關于m的不等式組，求解不等式組可知. 點睛：本題主要考查復數的運算法則，已知復數的類型求參數的方法等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力. 29．如果，求實數的值. 【答案】 【解析】分析：由復數相等的充分必要條件得到關于x,y的方程組，求解方程組可得. 詳解：由題意得，解得.x 點睛：本題主要考查復數相等的充分必要條件及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力. 三、填空題 30．設是一元二次方程的兩個虛根，若，則實數____________. 【答案】4. 【解析】 【分析】 求出方程的兩個虛根，計算它們的乘積的?？傻玫闹? 【詳解】 【點睛】 對于實系數的一元二次方程，當時，方程有兩個虛根且它們是一對共軛復數滿足.