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2019-2020年高二數(shù)學(xué) 9.4直線和平面垂直(備課資料)人教版必修 試判斷下面命題正誤.（正確的打“√”,不正確的打“”） 1.一條直線和一個平面平行,它就和這個平面內(nèi)的任何直線平行. 2.如果一條直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線,那么這條直線和這個平面垂直. 3.垂直于三角形兩邊的直線必垂直于第三邊. 4.過點A垂直于直線a的所有直線都在過點A垂直于a的平面內(nèi). 解：1. 一條直線和一個平面平行,它就和這個平面內(nèi)的任何一條直線平行是錯誤的,因為還存在異面的情形. 2. 應(yīng)當(dāng)明確,無數(shù)條直線并不是平面內(nèi)所有直線,關(guān)鍵看其中有無兩條相交線,因一組平行線也是無數(shù)條直線,而垂直于一組平行線的線不一定與平面垂直. 3.√ 對任意一個三角形來說,它滿足：①它確定一個平面;②每相鄰兩邊都相交,因此,垂直于三角形兩邊的直線必垂直于三角形所在的平面.由線面垂直定義的逆用,知該直線必垂直于三角形的第三邊. 4.√ 教材中告訴我們兩個結(jié)論：①過一點有且只有一個平面與已知直線垂直;②過一點有且只有一條直線與已知平面垂直,那么過點A垂直于直線a的平面唯一,因此,過點A且與a垂直的直線都在過點A且與直線a垂直的平面內(nèi). 評述：該題是利用線面垂直的定義及判定來解決的.通過問題的解決,進一步加深對概念的理解,提高靈活運用知識的能力,有些結(jié)論可在以后的學(xué)習(xí)中直接運用,如：4. 二、證明線面垂直問題 1.空間四邊形ABCD的邊BC=AC,AD=BD,引BE⊥CD,E為垂足,作AH⊥BE于點H,求證：AH⊥面BCD. 分析：要證AH⊥面BCD,關(guān)鍵是在面BCD內(nèi)找兩條相交直線,使之與AH垂直.BE是顯然的,關(guān)鍵是另一線段. 證明：取AB的中點F,連結(jié)CF、DF. ∵AC=BC,∴CF⊥AB. 又∵AD=BD,∴DF⊥AB, 那么AB⊥面CDF.又CD面CDF, ∴CD⊥AB. 而BE⊥CD, ∴CD⊥面ABE,CD⊥AH. 又AH⊥BE,故AH⊥面BCD. 2.已知PA垂直于⊙O所在平面,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上任意一點,過點A作AE⊥PC于點E,求證：AE⊥面PBC. 分析：因為AE⊥PC,所以要證明結(jié)論成立,主要在于證明AE與面PBC內(nèi)一線垂直,而該線從圖中結(jié)構(gòu)來看,找BC較合適. 證明：∵PA⊥面ABC,BC面ABC, ∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直徑, 故BC⊥AC.而PC∩AC=C, 故BC⊥面PAC. 又AE面PAC,故BE⊥AE. 而PC⊥AE,PC∩BC=C, ∴AE⊥面PBC. 三、折疊問題 教材P28 4是一個簡單的折疊問題,這類問題主要看兩方面的變化,一是數(shù)量變化,一般是角和長度變化;二是位置變化,平行與垂直看折疊前后這兩方面是否變化. 下圖是一個正方體的展開圖,在原正方體中,有下列命題: ①AB與EF所在直線平行； ②AB與面EC垂直； ③NA與面AB垂直； ④MN與CD所在直線平行. 其中正確命題的序號是 . 分析：折疊前的平面圖形由六個全等的正方形組成; 折疊后的立體圖形是由這六個正方形圍成的幾何體; 每一個正方形的位置關(guān)系不會改變,但相互間在變. 要回答題所問,關(guān)鍵是找到平面圖與立體圖間字母的對應(yīng),經(jīng)分析、思考立體圖形各頂點字母如圖所示. 那么,①AB與EF是異面垂直;②AB⊥面EC,因AB⊥MC,AB⊥ME;③NA⊥面AB,因NA⊥AM, NA⊥AC;④MN與CD異面且垂直,故正確命題的序號是②③. 四、證明線面垂直的方法可歸納如下 1.利用線面垂直的定義 證一直線垂直于平面內(nèi)任一直線,這條直線垂直于該平面. 2.利用線面垂直的判定定理 證一直線與平面內(nèi)兩相交線都垂直,這條直線與平面垂直. 3.利用線面垂直的性質(zhì) 兩平行線之一垂直于平面,則另一條也必垂直于這個平面. ●備課資料 一、利用概念解題 1.判斷下列命題的正誤.（正確打“√”,錯誤打“”） （1）平行于同一直線的兩條直線互相平行. （2）垂直于同一直線的兩條直線互相平行. （3）平行于同一平面的兩條直線互相平行. （4）垂直于同一平面的兩條直線平行. 分析：（1）該命題就是平行公理,因此該命題正確.打“√”. （2）垂直于同一直線的兩條直線可以平行,也可以相交,還可以是異面直線,故該命題錯誤.打“”. （3）平行于同一平面的兩直線具有平行、相交、異面三種位置關(guān)系,故該命題錯誤.打“”. （4）由直線和平面垂直的性質(zhì)知該命題正確.打“√”. 2.MN是異面直線a、b的公垂線. 已知:a∥α,b∥α,求證:MN⊥α. 分析：需在α內(nèi)找與a及b平行的直線,從而證明MN與這兩條直線垂直,依判定定理完成證明. 證明：在α內(nèi)取一點P,設(shè)直線a與點P確定的平面與α的交線為a′, 直線b與點P所確定的平面與平面α的交線為b′. ∵a∥α,b∥α, ∴a∥a′,b∥b′. 又∵MN⊥a,MN⊥b, ∴MN⊥a′,MN⊥b′. 故MN⊥α. 3.如果一條直線和兩個相交平面平行,那么這條直線就和它們的交線平行. 已知：a∥α,a∥β,α∩β=b. 求證：a∥b. 分析：此題證明的難點是構(gòu)造圖形,構(gòu)造符合題意的圖形,由于構(gòu)造方法的不同,可有不同的證明方法. 證法一：∵α∩β=b,在b上任取一點A,設(shè)過a、A的平面與平面α相交于直線b′. ∵a∥α則a∥b′. 又設(shè)過點A及a的平面交β于b″. ∵α∥β,∴a∥b″. b′與b″都過A且與b平行, ∴b′與b″重合,重合后的直線既在α內(nèi)又在β內(nèi), 因而即為交線b. 故b∥a. 證法二：設(shè)過a的兩個平面,分別與α、β相交于直線c、d. ∵a∥α,a∥β, ∴a∥c,a∥d. ∴c∥d,則c∥β.∴c∥b. ∴a∥b. 證法三：在a上取一點A,作AB⊥α于點B,AC⊥β于點C. ∵a∥α,a∥β, ∴a⊥AC,a⊥AB. 設(shè)AB、AC確定平面γ, ∴a⊥γ. 又∵b⊥AB,b⊥AC, ∴b⊥γ.∴a∥b. 證法四：假設(shè)α∩β=b且b不平行于a, 在b上任取一點A, 過A、a確定平面γ, 則γ與α交于b′,γ與β交于b″, 且∥a,∥a. 過直線外一點作直線的平行線是唯一的,故假設(shè)b與a不平行不真, 即a∥b. (從多角度思考問題,以拓寬解題思路,提高空間想象能力) 二、證明線線平行的方法可歸納如下 1.利用線線平行定義 證明線線共面且無公共點. 2.利用三線平行公理 變兩線同時平行于第三條直線. 3.利用線面平行的性質(zhì)定理 證線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行. 4.利用線面垂直性質(zhì)定理 垂直于同一平面的兩直線平行. 從以上線線平行的求證方法,可知等價轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中貫通全篇,通過轉(zhuǎn)化將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,其中平面起著橋梁作用,看下面問題及其解決思路. 在正方體ABCD—A1B1C1D1中,EF為異面直線A1D與AC的公垂線. 求證：EF∥BD1. 分析：要證EF∥BD1,從轉(zhuǎn)化的角度結(jié)合題目構(gòu)造符合證題思路的圖形很重要,這是關(guān)鍵所在. 證明：連結(jié)A1C1,由于 AC∥A1C1,EF⊥AC, ∴EF⊥A1C1. 又EF⊥A1D,A1D∩A1C1=A1, ∴EF⊥面A1C1D. ∵BB1⊥面A1B1C1D1, A1C1面A1B1C1D1, ∴BB1⊥A1C1.又A1C1⊥B1D1, 故A1C1⊥面BDD1B1.而BD1面BB1D1D, ∴A1C1⊥BD1. 同理DC1⊥BD1. 故BD1⊥面A1C1D. 則EF∥BD1. (問題轉(zhuǎn)化過程中,面A1C1D的作用主要在于把EF和BD1的關(guān)系清楚地反映出來) 三、線到平面的距離問題 線面距離問題解決的基本思想都是通過轉(zhuǎn)化完成. 由線面距離點面距離點線距離解三角形完成. 已知在長方體AC1中,AA1=a,AB=b. 求B1C1到平面A1BCD1的距離. 分析：求線面距離,其作法是：在線上取點,將線面距離問題轉(zhuǎn)化為點面距離問題,進而由點向面作垂線,轉(zhuǎn)化為點線距離. 解：∵B1C1∥BC,且B1C1面A1BCD1,BC面A1BCD1, ∴B1C1∥面A1BCD1. 那么過點B1作面A1BCD1的垂線段即為所求. 過點B1作B1E⊥A1B于點E. ∵BC⊥面A1B1BA,B1E面A1BB1, ∴BC⊥B1E. 那么B1E⊥面A1BCD1,B1E的長即為所求, B1E=. ●備課資料 一、射影問題 一個點在平面內(nèi)的射影一定還是一個點,而一條直線在平面內(nèi)的射影是直線或點,一個三角形（平面圖形）在平面內(nèi)的射影是否一定還是三角形？（請考慮三角形所在面與平面垂直時的情形）請思考下列問題,注意特殊情形,利用斜線段、射影、垂線段. 1.一條直線在一個面內(nèi)射影可能是 A.一個點 B.一條線段 C.一條直線 D.可能是一個點,也可能是一條直線 解析：當(dāng)直線與平面垂直時,該直線在平面內(nèi)的射影為一個點,除此之外其余情形在平面內(nèi)的射影都是一條直線. 答案：D 2.如果平面外兩條直線在平面內(nèi)的射影是一個點和不經(jīng)過該點的一條直線,那么這兩條直線的位置關(guān)系是 A.異面 B.平行 C.異面或平行 D.異面或相交 解析：平面外的兩直線相交時,無論直線位置如何,只要其中有一直線的射影為點,則另一直線的射影一定經(jīng)過該線,那么相交情形可排除在外.當(dāng)兩直線平行時,由題知其在面內(nèi)的射影應(yīng)為兩個點,也可排除平行情形.故兩直線是異面情形. 答案：A 3.下列命題正確的個數(shù)為 ①兩條斜線相等,則它們在同一平面內(nèi)的射影也相等 ②兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影也是平行線 ③若a是平面α的斜線,直線b垂直于a在α內(nèi)的射影,則b⊥a ④若直線 a∥α,l為平面α的斜線,a⊥l,則a垂直于l在α內(nèi)的射影 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：①兩條斜線段相等,則它們在同一平面內(nèi)的射影不一定相等.因為當(dāng)這兩條斜線段從平面外一點引出時射影相等,若不是從平面外一點引出,則可以相等,也可以不相等. ②當(dāng)兩直線垂直于平面時其射影為兩個點,當(dāng)兩直線所確定的平面垂直于平面時,其射影為一條直線,其余位置的射影為兩平行線. ③如圖舉一反例,a′是a在α內(nèi)的射影,b⊥a′,但b與a不垂直. ④經(jīng)l上一點作平面的垂線b,∵a∥α, ∴a⊥b.又a⊥l,故a與斜線l及垂線b所確定的平面垂直,射影在該面內(nèi).故a垂直于l在α內(nèi)的射影. 答案：A 由上分析知正確命題為④.以上是線的射影,再看一個形的射影問題. 4.Rt△ABC的斜邊AB在平面α內(nèi),頂點C在平面α外,則△ABC的兩條直角邊在平面α內(nèi)的射影與斜邊組成的圖形只能是 A.一條線段 B.一個銳角三角形 C.一個鈍角三角形 D.一條線段或一個鈍角三角形 解析：問題的關(guān)鍵在于頂點C在平面α上的射影的位置. 當(dāng)頂點C在平面α上的射影在AB所在的直線上時,兩直角邊在平面上的射影是一條線段. 其與斜邊組成的圖形是一條線段. 當(dāng)頂點C在平面α內(nèi)的射影在BC所在的直線外時, 如圖所示,其射影與斜邊組成三角形. ∵AC2+BC2=AB2, 而AC＞AC′,BC＞BC′, ＜AB2, 那么△ AB是鈍角三角形. 答案：D 可利用斜線段、垂線段及射影來解決距離及線段長,主要是解直角三角形,如下列問題： 5.由點P到平面α引垂線PO及斜線PA、PB、PC,設(shè)PA、PB、PC與平面α所成的角分別是60、45、30,且PC=a,求： （1）點P到平面α的距離； （2）PA、PB及PA、PB在平面α的射影長. 解：（1）如圖,垂線段為PO, 斜線段為PA、PB、PC, 且∠PCO=30,∠PBO=45,∠PAO=60. 在△PCO中,PO=PCsin30=a, 即點P到平面α的距離為. （2）在△PAO及△PBO中,∵PO=, 故PA= 其射影分別為 BO=,AO=. 二、成角問題 1.正方體ABCD—A1B1C1D1中,AB=2. （1）求A1B與平面AC所成的角； （2）設(shè)BD與AC交點為O,求D1O與平面ABCD所成角的正弦值. 解：（1）∵AA1⊥面ABCD, 故AB就是A1B在面ABCD內(nèi)的射影. ∵AA1=AB, ∴∠A1BA=45. 即A1B與面AC所成的角為45. （2）設(shè)BD與AC的交點為O,連結(jié)D1O, ∵DD1⊥面ABCD, ∴DD1與DO所成角∠D1OD就是D1O與面AC所成的角. D1O=2. ∴sinD1OD=. (角的問題求解與正方體的棱長無關(guān),但距離與棱長有關(guān)) 求線面成角,關(guān)鍵在于確定點在平面內(nèi)的射影位置,是解題關(guān)鍵的一步,確定射影位置也就找到了直線和平面所成的角,也就是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解. 2.已知平面α外兩點A、B到平面α的距離分別為1和2,A、B兩點在α內(nèi)的射影之間的距離為,求直線AB和平面α所成的角. 分析：此題射影位置的確定依賴于斜線,或者說A、B兩點,而A、B和平面的關(guān)系還需討論,涉及分類討論思想的滲透,然后找垂線定角,進而求角. 解：（1）當(dāng)點A、B位于平面α同側(cè)時,由點A、B分別向平面α作垂線,垂足分別為A1、B1, 則AA1=1,BB1=2, B1A1=. 過點A作AH⊥BB1于點H, 則AB和α所成的角即為∠HAB. 而tanBAH=, ∴∠BAH=30. （2）當(dāng)點A、B位于平面α異側(cè)時, 過點A、B分別作 AA1⊥α于點A1,BB1⊥α于點B1, AB∩α=C, A1B1為AB在面α上的射影, ∠BCC1或∠ACA1為AB與平面α所成的角. ∵△BCC1∽△ACA1, ∴=2.∴B1C=2A1C. 而B1C+2A1C=, ∴B1C=. ∴tanBCB1=, ∠BCB1=60. ∴AB與α所成的角為60. 綜上（1）（2）可知AB與平面α所成的角為30或60. ●備課資料 三垂線定理及其逆定理在解決問題中的作用. 三垂線定理及其逆定理可用來證明空間兩直線垂直,也可用來證明同一平面內(nèi)兩直線垂直,能將空間兩直線垂直問題向平面上兩直線垂直問題轉(zhuǎn)化. 利用三垂線定理及其逆定理可以解決直線與平面所成的角、二面角的平面角,點到面的距離問題. 一、確定射影位置 ［例1］點P在△ABC的射影為點O,且PA、PB、PC兩兩垂直,那么點O是△ABC的 A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心 分析：過P作PO⊥面ABC于點O, ∵PA⊥PB,PA⊥PC, ∴PA⊥面PBC,BC面PBC. 故PA⊥BC. ∵PA在面ABC內(nèi)的射影為AO, ∴BC⊥AO,即AO是BC邊上的高. 同理BO⊥AC,那么點O是△ABC的垂心. 答案：D 評述：問題的解決過程運用了三垂線定理的逆定理. 二、求點到線的距離 ［例2］PA垂直于矩形ABCD所在的平面,且AB=3 cm,AD=4 cm,PA= cm,求點P到BC、CD、BD的距離. 解：∵四邊形ABCD是矩形,BC⊥AB,∴BC⊥PB. ∴PB是點P到BC的距離. 同理PD是點P到CD的距離. PB= (cm), PD=== (cm). 又作AE⊥BD,連結(jié)PE. ∵PA⊥面AC,∴PE⊥BD,AE= (cm). ∴PE==6 (cm). 三、求解折疊問題 ［例3］矩形紙片A A1,B、C、B1、C1分別為A、A1A1′的三等分點,將矩形紙片沿BB1、CC1折成如上圖形狀,若面對角線AB1⊥BC1,求證：A1C⊥AB1. 分析：題的條件是AB1⊥BC1,而結(jié)論是證AB1⊥A1C,那么結(jié)論得證的關(guān)鍵是找面,通過該面構(gòu)建符合三垂線定理或其逆定理的條件,完成線線垂直,所找的面為ABB1A1,取AB及A1B1的中點D及D1是解題的關(guān)鍵. 證法一：取AB及A1B1的中點D及D1, 連結(jié)C1D1、BD1、A1D, 由題意知△ABC及△A1B1C1為等邊三角形,C1D1⊥A1B1,CD⊥AB,面ABB1A1⊥面A1B1C1, ∴C1D1⊥面ABB1A1,CD⊥面ABB1A1. ∵AB1⊥BC1,∴AB1⊥BD1. 而A1D∥BD1,∴A1D⊥AB1. 那么AB⊥面A1DC,A1C面A1DC. ∴AB1⊥A1C. 證法二： 分別作AD∥BC,BD∥AC交于點D,作A1D1∥B1C1,B1D1∥A1C1交于點D1. 連結(jié)BD1、DD1. ∵四邊形A1D1B1C1為菱形,∴A1B1⊥D1C1. 又AA1⊥面A1D1B1C1,∴AA1⊥D1C1. 而D1C1⊥面ABB1A1,即D1C1⊥AB1. 又∵AB1⊥BC1,∴AB1⊥面BC1D1. ∴AB1⊥BD1.又BD1∥A1C, ∴AB1⊥A1C. 評述：三垂線定理及其逆定理是研究平面的斜線、斜線在平面內(nèi)的射影、平面內(nèi)的直線三者之間的位置關(guān)系的,它與平面所在的位置無關(guān),應(yīng)善于在豎直或傾斜放置的平面上運用三垂線定理或其逆定理,來判定直線的垂直關(guān)系. 四、求作二面角的平面角 ［例4］（xx年高考題）如圖,在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD中,∠ABC=90, SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=.求： （1）四棱錐S—ABCD的體積； （2）求面SCD與面SBA所成二面角的正切值. 解：（1）略. （2）延長BA、CD相交于點E, 連結(jié)SE,則SE是所求二面角的棱. ∵AD∥BC,BC=2AD,∴EA=AB=SA,則SE⊥SB. ∵SA⊥面ABCD,得面SEB⊥面EBC,EB是交線,又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB. 則有SB是SC在面SBE上的射影. ∴SC⊥SE.∴∠BSC是所求二面角的平面角. ∵SB=,BC=1,BC⊥SB,故tanBSC=, 即所求二面角的正切值為. 評述：此題是無棱二面角問題,先找到兩面交線,即二面角的棱,然后依三垂線定理證明 ∠BSC是二面角的平面角.這也是立體幾何的一個題目類型,另外此題找面SBE的垂線為BC,面SBE就是豎直的.