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第一章總結,一、極限的概念,1.各種極限過程的描述：,當x→x0時：,當,時，,當 時：,,當,時，,當 時：,當,時，,當 時：,當,時，,當 時：,當,時，,當 時：,當,時，,當 時：,存在自然數(shù)N，當nN時,,2. 極限的幾何解釋,,,,,,,則直線 y = A是曲線 y = f(x) 的水平漸近線．,若,,,,,,,,,二、極限的性質,1.唯一性 2.局部有界性 3.不等式性質（局部） 4.有界函數(shù)與無窮小的乘積性質 5.充要條件,三、 無窮小與無窮大,1.無窮小的定義 2.無窮大的定義 3.無窮小與無窮大的關系 4.無窮小的比較 5.等價無窮小的重要性質：,(1)α~β的充要條件是β=α+o(α),(2)等價無窮小的代換定理,6.重要的等價無窮小,當x→0時，,三、極限存在準則、兩個重要極限 1.夾逼準則 2.單調有界準則 3.,求極限的方法： （1）若f(x)為初等函數(shù)，x0在其定義區(qū)間內， 用（代入法） （2）若外層函數(shù)連續(xù)內層函數(shù)的極限存在， 則極限號可以穿過外層函數(shù)號。 （3）變量替換 （4）利用不為零的無窮小的倒數(shù)是無窮大 （5）利用有界函數(shù)和無窮小的積是無窮小,分別是m,n次多項式,(10) 若底數(shù)極限大于0，指數(shù)極限存在，,,(7) 型的極限，分子、分母同除以最大項,(8) 型的極限: 約掉零因子、等價無窮小代換等,,(9) 型的極限，化為第二個重要極限,,,則可以指數(shù)底數(shù)同時取極限,（11）利用極限存在準則求極限,練習題,則a=___，b=___,1.設,2.設,則a=___，b=___,2,,,一、填空題,二、計算下列極限,四、連續(xù)的概念,1.函數(shù)y = f (x)在點x0 連續(xù),2.左右連續(xù),3.連續(xù)的充要條件,五、間斷點及其分類,可去型,第一類間斷點,跳躍型,無窮型,振蕩型,第二類間斷點,研究函數(shù)的連續(xù)性問題： 1.確定定義域。 2.找出孤立點，必為間斷點。 3.找出定義區(qū)間的邊界點、分段函數(shù)的分界點， 由極限判斷是否是間斷點。 4. 指出函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。,例1 設,，研究f(x)的連續(xù)性。,三、連續(xù)函數(shù)的性質、初等函數(shù)的連續(xù)性,1.連續(xù)函數(shù)的四則運算 2.反函數(shù)的連續(xù)性 3.復合函數(shù)的連續(xù)性 4.初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù) 5.重要結論： 當…時，“極限號”可以“穿過”外層“函數(shù)號”,四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質,最值定理，有界性定理、零點定理、介值定理,(A) 連續(xù)點 （B）可去間斷點 (C) 跳躍間斷點 （D）無窮間斷點,則x=1是f(x)的（ ）,2.設,則x=1是f(x)的（ ）,（A）連續(xù)點 （B）跳躍間斷點 （C）無窮間斷點 （D）振蕩間斷點,一、選擇,3.極限,的結果是（ ）,(A) 0 (B) (C) (D) 不存在,4.極限,的結果是（ ）,(A) 無窮大 (B) 0 (C) (D) 不存在,也非無窮大,（A）可去 (B)跳躍 （C）無窮 （D）振蕩,5.設,則x=1是f(x)的( )間斷點,2.設f(x)處處連續(xù),且f(2)=3,則,在區(qū)間________是連續(xù)的。,二、填空,,在x=0點連續(xù)，則常數(shù)a=_____,三、確定,的間斷點，并判斷類型。,四、設,研究f(x)的連續(xù)性。,五、設函數(shù) f(x)在 連續(xù)，且0f(x)1,證明：方程f(x)=tanx在 內至少有一個實根,