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2010 年高考數(shù)學試題分類匯編 圓錐曲線 2010 上海文數(shù) 23 本題滿分 18 分 本題共有 3 個小題 第 1 小題滿分 4 分 第 2 小 題滿分 6 分 第 3 小題滿分 8 分 已知橢圓 的方程為 21 0 xyab Ab 0 B 和 0 Qa為 的三個頂 點 1 若點 M滿足 2AQB 求點 M的坐標 2 設直線 1 lykxp 交橢圓 于 C D兩點 交直線 2 lykx 于點 E 若21bka 證明 E為 的中點 3 設點 P在橢圓 內且不在 x軸上 如何構作過 PQ中點 F的直線 l 使得 l與橢圓 的兩個交點 1 2滿足 12P 12 令 10a 5b 點 P的 坐標是 8 1 若橢圓 上的點 滿足 求點 2的坐標 解析 1 2abM 2 由方程組 12ykxpab 消 y 得方程 222211 0akbxakpb 因為直線 1 lykx交橢圓 于 C D兩點 所以 0 即 220abp 設 C x1 y1 D x 2 y2 CD 中點坐標為 x0 y0 則 10211kabpykx 由方程組 2ykx 消 y 得方程 k 2 k1 x p 又因為 21bka 所以 210212akkbpyxy 故 E 為 CD 的中點 3 因為點 P 在橢圓 內且不在 x 軸上 所以點 F 在橢圓 內 可以求得直線 OF 的斜率 k2 由 12Q 知 F 為 P1P2 的中點 根據(jù) 2 可得直線 l 的斜率 21bka 從而得直 線 l 的方程 F 直線 OF 的斜率 2k 直線 l 的斜率 21bka 解方程組 2 105yx 消 y x 2 2x 48 0 解得 P1 6 4 P 2 8 3 2010 湖南文數(shù) 19 本小題滿分 13 分 為了考察冰川的融化狀況 一支科考隊在某冰川山上相距 8Km 的 A B 兩點各建一個考察 基地 視冰川面為平面形 以過 A B 兩點的直線為 x 軸 線段 AB 的垂直平分線為 y 軸建 立平面直角坐標系 圖 4 考察范圍到 A B 兩點的距離之和不超過 10Km 的區(qū)域 I 求考察區(qū)域邊界曲線的方程 II 如圖 4 所示 設線段 12P 是冰川的部分邊界線 不考慮其他邊界 當冰川融 化時 邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動 第一年移動 0 2km 以 后每年移動的距離為前一年的 2 倍 問 經(jīng)過多長時間 點 A 恰好在冰川邊界 線上 2010 浙江理數(shù) 21 本題滿分 15 分 已知 m 1 直線 2 0mlxy 橢圓2 1xCym 2F分別為橢圓 C的左 右焦點 當直線 l過右焦點 2時 求直線 l的方程 設直線 與橢圓 交于 AB兩點 12FV 12BFV 的重心分別為 GH 若原點 O在以線段 GH為直徑的圓 內 求實數(shù) m的取值范圍 解析 本題主要考察橢圓的幾何性質 直線與橢圓 點與圓的位置關系等基礎知識 同時 考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力 解 因為直線 l 20mxy 經(jīng)過 2 1 0 F 所以 221m 得 2m 又因為 1m 所以 2 故直線 l的方程為 0 xy 解 設 12 AB 由 21 mxy 消去 x得2204y 則由 228 1 80m 知 28m 且有 2121 yy A 由于 12 0 Fc 故 O為 的中點 由 AGBHO 可知 121 33xyh221219y 設 M是 GH的中點 則 1212 6xy 由題意可知 2 O 即 2221111 4 69xyxy 即 120 而 221211 mxyyy 221 8m 所以 2108m 即 24 又因為 1 且 0 所以 m 所以 的取值范圍是 2 2010 全國卷 2 理數(shù) 21 本小題滿分 12 分 己知斜率為 1 的直線 l 與雙曲線 C 210 xyabb 相交于 B D 兩點 且 BD 的中點為 3M 求 C 的離心率 設 C 的右頂點為 A 右焦點為 F 17DB A 證明 過 A B D 三點的圓 與 x 軸相切 命題意圖 本題主要考查雙曲線的方程及性質 考查直線與圓的關系 既考查考生的基 礎知識掌握情況 又可以考查綜合推理的能力 參考答案 點評 高考中的解析幾何問題一般為綜合性較強的題目 命題者將好多考點以圓錐曲線 為背景來考查 如向量問題 三角形問題 函數(shù)問題等等 試題的難度相對比較穩(wěn)定 2010 陜西文數(shù) 20 本小題滿分 13 分 求橢圓 C 的方程 設 n 為過原點的直線 l 是與 n 垂直相交與點 P 與橢圓相交 于 A B 兩點的直線 立 若存在 求出直線 l 的方程 并說出 若不存在 請說明理由 2010 遼寧文數(shù) 20 本小題滿分 12 分 設 1F 2分別為橢圓 2 1xyCab 0 的左 右焦點 過 2F的直線 l與橢 圓 C 相交于 A B兩點 直線 l的傾斜角為 6 1F到直線 l的距離為 3 求橢圓 的焦距 如果 2F 求橢圓 的方程 解 設焦距為 c 由已知可得 1F到直線 l 的距離 32 c 故 所以橢圓 C的焦距為 4 設 1212 0 AxyBy 由 題 意 知 直線 l的方程為 3 2 yx 聯(lián)立 22242 3 3 abbab 得 解得 22123 3ayyb 因為 212 AFB 所 以 即 223 3baba 得 2 4 5 而 所 以 故橢圓 C的方程為 1 9xy 2010 遼寧理數(shù) 20 本小題滿分 12 分 設橢圓 C 2 0 xyab 的左焦點為 F 過點 F 的直線與橢圓 C 相交于 A B 兩點 直線 l 的傾斜角為 60o 2AB I 求橢圓 C 的離心率 II 如果 AB 154 求橢圓 C 的方程 解 設 12 AxyB 由題意知 1y 0 2 0 直線 l 的方程為 3 xc 其中 2ab 聯(lián)立 2 3 1yxcab 得 2224 30aby 解得 22123 3 ccayb 因為 AFB 所以 12y 即 223 3 bcacab 得離心率 e 6 分 因為 213ABy 所以 24315ab 由 23ca得 5ba 所以 54 得 a 3 橢圓 C 的方程為 219xy 12 分 2010 全國卷 2 文數(shù) 22 本小題滿分 12 分 已知斜率為 1 的直線 1 與雙曲線 C 21 0 xyab 相交于 B D 兩點 且 BD 的 中點為 M 1 3 求 C 的離心率 設 C 的右頂點為 A 右焦點為 F DF BF 17 證明 過 A B D 三點的圓 與 x 軸相切 解析 本題考查了圓錐曲線 直線與圓的知識 考查學生運用所學知識解決問題的能力 1 由直線過點 1 3 及斜率可得直線方程 直線與雙曲線交于 BD 兩點的中點為 1 3 可利用直線與雙曲線消元后根據(jù)中點坐標公式找出 A B 的關系式即求得離心率 2 利用離心率將條件 FA FB 17 用含 A 的代數(shù)式表示 即可求得 A 則 A 點坐標可 得 1 0 由于 A 在 X 軸上所以 只要證明 2AM BD 即證得 2010 江西理數(shù) 21 本小題滿分 12 分 設橢圓 21 0 xyCab 拋物線 22 Cxby 1 若 2經(jīng)過 1的兩個焦點 求 1的離心率 2 設 A 0 b 534Q 又 M N 為 1與 2不在 y 軸上的兩個交點 若 AMN 的垂心為 B 且 QMN 的重心在 2C上 求橢圓 1和拋物線 2C的方程 解析 考查橢圓和拋物線的定義 基本量 通過交點三角形來確認方程 1 由已知橢圓焦點 c 0 在拋物線上 可得 2cb 由22212 cabcea 有 2 由題設可知 M N 關于 y 軸對稱 設11 0 xyx 由 A 的垂心為 B 有2113 04BAb 由點 1 Nxy在拋物線上 22xy 解得 11 4by 或 舍 去 故 155 244bbbM 得 QMN 重心坐標 3 由重心在拋物線上得 23 2 所 以 1 5 2 又因為 M N 在橢圓上得 216a 橢圓方程為 1634xy 拋物線方程為 4xy 2010 安徽文數(shù) 17 本小題滿分 12 分 橢圓 E經(jīng)過點 2 3A 對稱軸為坐標軸 焦點 1 F在 x軸上 離心率 12e 求橢圓 E的方程 求 12FA 的角平分線所在直線的方程 17 命題意圖 本題考查橢圓的定義及標準方程 橢圓的簡單幾何性質 直線的點斜式方 程與一般方程 點到直線的距離公式等基礎知識 考查解析幾何的基本思想 綜合運算能 力 解題指導 1 設橢圓方程為 21xyab 把點 2 3A代入橢圓方程 把離心率2e 用 ac表示 再根據(jù) 22c 求出 得橢圓方程 2 可以設直線 l 上 任一點坐標為 xy 根據(jù)角平分線上的點到角兩邊距離相等得 46 2 5xyx 解 設橢圓 E 的方程為2 222121121 3 1 4 6 3 0 434 xyabcxyeaccAExyFAxxAF 由 得將 3 代 入 有 解 得 橢 圓 的 方 程 為由 知 所 以 直 線 的 方 程 為 y 即 直 線 的 方 程 為 由 橢 圓 的 圖 形 知 的 角 平 分 線 所 在 直 線 的 斜 率 為 正12 12 65650 80 yA xxyyF 數(shù) 設 P 為 的 角 平 分 線 所 在 直 線 上 任 一 點 則 有若 得 其 斜 率 為 負 不 合 題 意 舍 去 于 是 即 所 以 的 角 平 分 線 所 在 直 線 的 方 程 為 2x y 規(guī)律總結 對于橢圓解答題 一般都是設橢圓方程為 21xyab 根據(jù)題目滿足的條件 求出 2 ab 得橢圓方程 這一問通常比較簡單 2 對于角平分線問題 利用角平分線 的幾何意義 即角平分線上的點到角兩邊距離相等得方程 2010 重慶文數(shù) 21 本小題滿分 12 分 小問 5 分 小問 7 分 已知以原點 O為中心 5 0 F為右焦點的雙曲線 C的離心率 52e 求雙曲線 C的標準方程及其漸近線方程 如題 21 圖 已知過點 1 Mxy的直線 1l 14xy 與過點2 Nxy 其中 21x 的直線 2l 24 的交點 E在雙曲線 上 直線 MN與雙曲線的兩條漸近線分別交于 G H兩點 求 O A的值 2010 浙江文數(shù) 22 本題滿分 15 分 已知 m 是非零實數(shù) 拋物線2 Cyps p 0 的焦點 F 在直線 2 0mlxy 上 I 若 m 2 求拋物線 C 的方程 II 設直線 l與拋物線 C 交于 A B A2A 1B的重心分別為 G H 求證 對任意非零實數(shù) m 拋物線 C 的準線與 x 軸的焦點在以線段 GH 為直徑的圓外 2010 重慶理數(shù) 20 本小題滿分 12 分 I 小問 5 分 II 小問 7 分 已知以原點 O 為中心 5 0F為右焦點 的雙曲線 C 的離心率 2e I 求雙曲線 C 的標準方程及其漸近線方程 II 如題 20 圖 已知過點 1 Mxy的直線 11 4lxy 與過點 2 Nxy 其中 2 的直線 22 l的交點 E 在雙曲線 C 上 直線 MN 與兩條漸近線分別交與 G H 兩點 求 O 的面積 2010 山東文數(shù) 22 本小題滿分 14 分 如圖 已知橢圓 21 0 xyab 過點 1 2 離心率為 2 左 右焦點分別為 1F F 點 P為直線 lxy 上且不在 x軸上的任意 一點 直線 1和 2F與橢圓的交點分別為 A B 和 C D O為坐標原點 I 求橢圓的標準方程 II 設直線 1P 2的斜線分別為 1k 2 i 證明 123k ii 問直線 l上是否存在點 P 使得直線 OA B C D的斜率 OAk OBk C ODk滿足 0AOBCDk 若存在 求出所有滿足條件的點 P的坐 標 若不存在 說明理由 2010 北京文數(shù) 19 本小題共 14 分 已知橢圓 C 的左 右焦點坐標分別是 2 0 離心率是 63 直線 y t 橢 圓 C 交與不同的兩點 M N 以線段為直徑作圓 P 圓心為 P 求橢圓 C 的方程 若圓 P 與 x 軸相切 求圓心 P 的坐標 設 Q x y 是圓 P 上的動點 當 t 變化時 求 y 的最大值 解 因為 63ca 且 2c 所以 23 1abc 所以橢圓 C 的方程為 21xy 由題意知 0 pt 由 213 ytx 得 23 1 xt 所以圓 P 的半徑為 2 t 解得 2t 所以點 P 的坐標是 0 32 由 知 圓 P 的方程 22 1 xytt 因為點 Qxy在圓 P 上 所以23 1 31yttxt 設 cos 0 t 則 23 1 cos3in2si 6tt 當 3 即 12t 且 x y取最大值 2 2010 北京理數(shù) 19 本小題共 14 分 在平面直角坐標系 xOy 中 點 B 與點 A 1 1 關于原點 O 對稱 P 是動點 且直線 AP 與 BP 的斜率之積等于 13 求動點 P 的軌跡方程 設直線 AP 和 BP 分別與直線 x 3 交于點 M N 問 是否存在點 P 使得 PAB 與 PMN 的 面積相等 若存在 求出點 P 的坐標 若不存在 說明理由 I 解 因為點 B 與 A 1 關于原點 O對稱 所以點 B得坐標為 1 設點 的坐標為 xy 由題意得 13 化簡得 24 1 xyx 故動點 P的軌跡方程為 24 1 yx II 解法一 設點 的坐標為 0 點 M N得坐標分別為 3 My N 則直線 A的方程為 01 1yx 直線 BP的方程為01 yx 令 3得 0431My 0231Nyx 于是 PNA得面積 2002 3 2MNxyxSy 又直線 B的方程為 x AB 點 P到直線 A的距離 0 2yd 于是 PAB的面積 01 2Sdxy A 當 PABMN時 得 2002 3 1x 又 0 xy 所以 2 3 0 1 x 解得 05 3x 因為 204y 所以 09y 故存在點 P使得 AB與 PMN的面積相等 此時點 P的坐標為 53 9 解法二 若存在點 使得 與 A的面積相等 設點 的坐標為 0 xy 則 11 sin sin22MN A 因為 siPBN 所以 M 所以 00 1 3 xx 即 20 解得 053 因為 2034xy 所以 09y 故存在點 PS 使得 AB與 PMN的面積相等 此時點 P的坐標為53 9 2010 四川理數(shù) 20 本小題滿分 12 分 已知定點 A 1 0 F 2 0 定直線 l x 12 不在 x 軸上的動點 P 與點 F 的距離是 它到直線 l 的距離的 2 倍 設點 P 的軌跡為 E 過點 F 的直線交 E 于 B C 兩點 直線 AB AC 分別交 l 于點 M N 求 E 的方程 試判斷以線段 MN 為直徑的圓是否過點 F 并說明理由 本小題主要考察直線 軌跡方程 雙曲線等基礎知識 考察平面機襲擊和的思想方法及推 理運算能力 解 1 設 P x y 則 21 2yx 化簡得 x2 3 1 y 0 4 分 2 當直線 BC 與 x 軸不垂直時 設 BC 的方程為 y k x 2 k 0 與雙曲線 x2 1 聯(lián)立消去 y 得 3 k 2x2 4k 2x 4k 2 3 0 由題意知 3 k 2 0 且 0 設 B x1 y1 C x2 y2 則 2143kx y1y2 k 2 x1 2 x 2 2 k 2 x1x2 2 x 1 x 2 4 k 2 83 4 29 因為 x1 x 2 1 所以直線 AB 的方程為 y 1x x 1 因此 M 點的坐標為 13 2 13 yFx 同理可得 23 1yFNx 因此 2129 yNx A 284349 1 k 0 當直線 BC 與 x 軸垂直時 起方程為 x 2 則 B 2 3 C 2 3 AB 的方程為 y x 1 因此 M 點的坐標為 1 FM 同理可得 3 2FN 因此 A 0 綜上 FM 0 即 FM FN 故以線段 MN 為直徑的圓經(jīng)過點 F 12 分 2010 天津文數(shù) 21 本小題滿分 14 分 已知橢圓 21xyab a b 0 的離心率 e 32 連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積 為 4 求橢圓的方程 設直線 l 與橢圓相交于不同的兩點 A B 已知點 A 的坐標為 a 0 i 若 42AB5 求直線 l 的傾斜角 ii 若點 Q y0 在線段 AB 的垂直平分線上 且 QB 4 A 求 y0的值 解析 本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質 直線的方程 兩點間的距離公 式 直線的傾斜角 平面向量等基礎知識 考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質及數(shù) 形結合的思想 考查綜合分析與運算能力 滿分 14 分 解 由 e 32ca 得 24ac 再由 22ab 解得 a 2b 由題意可知 1b 即 ab 2 解方程組 2a 得 a 2 b 1 所以橢圓的方程為 214xy i 解 由 可知點 A 的坐標是 2 0 設點 B 的坐標為 1 xy 直線 l 的斜率為 k 則直線 l 的方程為 y k x 2 于是 A B 兩點的坐標滿足方程組 2 1 4ykx 消去 y 并整理 得 222 14 6 14 0kxk 由 12 得 218x 從而 124ky 所以 2224 4kkABk 由 42 5 得 2145k 整理得 423930k 即 22 1 3 0k 解得 k 1 所以直線 l 的傾斜角為 或 4 ii 解 設線段 AB 的中點為 M 由 i 得到 M 的坐標為 228 14k 以下分兩種情況 1 當 k 0 時 點 B 的坐標是 2 0 線段 AB 的垂直平分線為 y 軸 于是 002 2 QAyy 由 4QA 得 y2 0 2 當 k 時 線段 AB 的垂直平分線方程為 22184kkx 令 0 x 解得 02614ky 由 2 QA 10 Bxy 21010 2228646411kkxy 42654k 整理得 27k 故 17 所以 02145y 綜上 0y或 0245y 2010 天津理數(shù) 20 本小題滿分 12 分 已知橢圓 21 0 xyab 的離心率 32e 連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面 積為 4 1 求橢圓的方程 2 設直線 l與橢圓相交于不同的兩點 AB 已知點 的坐標為 0a 點0 Qy 在線段 AB的垂直平分線上 且 4Q 求 y的值 解析 本小題主要考察橢圓的標準方程和幾何性質 直線的方程 平面向量等基礎知識 考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質及數(shù)形結合的思想 考查運算和推理能力 滿分 12 分 1 解 由 3e2ca 得 24ac 再由 22ab 得 由題意可知 1 b 即 解方程組 2a 得 a 2 b 1 所以橢圓的方程為 214xy 2 解 由 1 可知 A 2 0 設 B 點的坐標為 x 1 y1 直線 l 的斜率為 k 則直線 l 的方程為 y k x 2 于是 A B 兩點的坐標滿足方程組 2 14ykx 由方程組消去 Y 并整理 得 222 1 6 4 0kk 由 2164 kx 得21128 kyk從 而 設線段 AB 是中點為 M 則 M 的坐標為 228 14k 以下分兩種情況 1 當 k 0 時 點 B 的坐標為 2 0 線段 AB 的垂直平分線為 y 軸 于是 000 2 y 2 2QAByQABy 由 4 得 2 當 K 時 線段 AB 的垂直平分線方程為 2218 44kkYx 令 x 0 解得 02614ky 由 010 QABxy 210 222 8 6462 411kkx 42 65 4k 整理得 2 012147 75y 故 所 以 綜上 0024 5yy或 2010 廣東理數(shù) 21 本小題滿分 14 分 設 A 1 xy B 2 是平面直角坐標系 xOy 上的兩點 先定義由點 A 到點 B 的一種折 線距離 p A B 為 121 PABxy 當且僅當 1212 0 0 xyy 時等號成立 即 ABC三點共線時 等號成立 2 當點 C x y 同時滿足 P AC P B P P P 時 點C 是線段 AB的中點 1212xy 即存在點 1212xyC 滿足條件 2010 廣東理數(shù) 20 本小題滿分為 14 分 一條雙曲線 21xy 的左 右頂點分別為 A1 A2 點 1 Pxy 1 Qy 是雙曲線上 不同的兩個動點 1 求直線 A1P 與 A2Q 交點的軌跡 E 的方程式 2 若過點 H 0 h h 1 的兩條直線 l1 和 l2 與軌跡 E 都只有一個交點 且 12l 求 h 的值 故 221 yx 即 21xy 2 設 1 lykh 則由 12l 知 1 lyxhk 將 1 lx 代入 2y 得22 kh 即 22 1 40kxh 由 1l與 E 只有一個交點知 226 1 kh 即2kh 同理 由 2l與 E 只有一個交點知 2k 消去 2得 21k 即 1 從 而 213k 即 2010 廣東文數(shù) 21 本小題滿分 14 分 已知曲線 2 nxyC 點 nyP 0 nyx是曲線 nC上的點 21 2010 福建文數(shù) 19 本小題滿分 12 分 已知拋物線 C 2 0 ypx 過點 A 1 2 I 求拋物線 C 的方程 并求其準線方程 II 是否存在平行于 OA O 為坐標原點 的直線 L 使得直線 L 與拋物線 C 有公共 點 且直線 OA 與 L 的距離等于 5 若存在 求直線 L 的方程 若不存在 說明理由 2010 全國卷 1 理數(shù) 21 本小題滿分 12 分 已知拋物線 2 4Cyx 的焦點為 F 過點 1 0 K 的直線 l與 C相交于 A B兩點 點 A 關于 x軸的對稱點為 D 證明 點 F 在直線 BD 上 設 89B 求 D 的內切圓 M 的方程 2010 四川文數(shù) 21 本小題滿分 12 分 已知定點 A 1 0 F 2 0 定直線 l x 12 不在 x 軸上的動點 P 與點 F 的距離是 它到直線 l 的距離的 2 倍 設點 P 的軌跡為 E 過點 F 的直線交 E 于 B C 兩點 直線 AB AC 分別交 l 于點 M N 求 E 的方程 試判斷以線段 MN 為直徑的圓是否過點 F 并說明理由 2010 湖北文數(shù) 20 本小題滿分 13 分 已知一條曲線 C 在 y 軸右邊 C 上沒一點到點 F 1 0 的距離減去它到 y 軸距離的差 都是 1 求曲線 C 的方程 是否存在正數(shù) m 對于過點 M m 0 且與曲線 C 有兩個交點 A B 的任一直線 都有 FA B 0 若存在 求出 m 的取值范圍 若不存在 請說明理由 2010 山東理數(shù) 21 本小題滿分 12 分 如圖 已知橢圓 21 0 xyab 的離心率為 2 以該橢圓上的點和橢圓的左 右 焦點 12 F為頂點的三角形的周長為 4 1 一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點 設P 為該雙曲線上異于頂點的任一點 直線 PF和 2與橢圓的交點分別為 BA 和 CD 求橢圓和雙曲線的標準方程 設直線 1PF 2的斜率分別為 1k 2 證明 12 k 是否存在常數(shù) 使得 ABCD 恒成立 若存在 求 的值 若 不存在 請說明理由 解析 由題意知 橢圓離心率為 ca2 得 c 又 2ac 4 21 所以可解得 2a c 所以 224b 所以橢圓的標準方程為 8xy 所以橢圓的焦點坐標為 0 因為雙曲線為等軸雙曲線 且頂點是該橢圓的焦點 所 以該雙曲線的標準方程為 214xy 命題意圖 本題考查了橢圓的定義 離心率 橢圓與雙曲線的標準方程 直線與圓錐曲 線的位置關系 是一道綜合性的試題 考查了學生綜合運用知識解決問題的能力 其中問 題 3 是一個開放性問題 考查了同學們觀察 推理以及創(chuàng)造性地分析問題 解決問題的 能力 2010 湖南理數(shù) 19 本小題滿分 13 分 為了考察冰川的融化狀況 一支科考隊在某冰川上相距 8km 的 A B 兩點各建一個考察基地 視冰川面為平面形 以過 A B 兩點的直線為 x 軸 線段 AB 的的垂直平分線為 y 軸建立平面 直角坐標系 圖 6 在直線 x 2 的右側 考察范圍為到點 B 的距離不超過 65 km 區(qū)域 在 直線 x 2 的左側 考察范圍為到 A B 兩點的距離之和不超過 45km 區(qū)域 求考察區(qū)域邊界曲線的方程 如圖 6 所示 設線段 P1P2 P2P3 是冰川的部分邊界線 不考慮其他邊界線 當冰川 融化時 邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動 第一年移動 0 2km 以后每年移動 的距離為前一年的 2 倍 求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間 化 融 區(qū) 域283P 6 P3 8 6 已 冰 B 4 0 A 4 0 x 1 P 153 2010 湖北理數(shù) 19 本小題滿分 12 分 已知一條曲線 C 在 y 軸右邊 C 上每一點到點 F 1 0 的距離減去它到 y 軸距離的差都是 1 求曲線 C 的方程 是否存在正數(shù) m 對于過點 M m 0 且與曲線 C 有兩個交點 A B 的任一直線 都 有 0FAB 若存在 求出 m 的取值范圍 若不存在 請說明理由 2010 安徽理數(shù) 19 本小題滿分 13 分 已知橢圓 E經(jīng)過點 2 3A 對稱軸為坐標軸 焦點12 F 在 x軸上 離心率 1e 求橢圓 的方程 求 12A 的角平分線所在直線 l的方程 在橢圓 E上是否存在關于直線 對稱的相異兩點 若存在 請找出 若不存在 說明理由 2010 江蘇卷 18 本小題滿分 16 分 在平面直角坐標系 xoy中 如圖 已知橢圓 1592 yx的左 右頂點為 A B 右焦點為 F 設過點 T mt 的直線 TA TB 與橢圓分別交于點 M 1x 2yxN 其中 m 0 021 y 1 設動點 P 滿足 42 BF 求點 P 的軌跡 2 設 31 21 x 求點 T 的坐標 3 設 9t 求證 直線 MN 必過 x 軸上的一定點 其坐 標與 m 無關 解析 本小題主要考查求簡單曲線的方程 考查方直線與橢圓的方程等基礎知識 考查運 算求解能力和探究問題的能力 滿分 16 分 1 設點 P x y 則 F 2 0 B 3 0 A 3 0 由 42 B 得 22 4 xyxy 化簡得 92x 故所求點 P 的軌跡為直線 9 2 將 31 21 x分別代入橢圓方程 以及 0 21 y得 M 2 53 N 1 09 直線 MTA 方程為 0523yx 即 3yx 直線 NTB 方程為 109 即 562 聯(lián)立方程組 解得 73xy 所以點 T 的坐標為 10 3 點 T 的坐標為 9m 直線 MTA 方程為 30yx 即 3 12myx 直線 NTB 方程為 9 即 6 分別與橢圓 1592 yx聯(lián)立方程組 同時考慮到 123 x 解得 223 80 4 mM 223 0 mN 方法一 當 12x 時 直線 MN 方程為 2222203 0 4808yxmm 令 0y 解得 1x 此時必過點 D 1 0 當 12x 時 直線 MN 方程為 x 與 x 軸交點為 D 1 0 所以直線 MN 必過 x 軸上的一定點 D 1 0 方法二 若 12 則由 224368m 及 得 210m 此時直線 MN 的方程為 1x 過點 D 1 0 若 12x 則 10m 直線 MD 的斜率 2240183MDmk 直線 ND 的斜率 22103640NDkm 得 MDNk 所以直線 MN 過 D 點 因此 直線 MN 必過 x軸上的點 1 0 2010 福建理數(shù) 17 本小題滿分 13 分 已知中心在坐標原點 O 的橢圓 C 經(jīng)過點 A 2 3 且點 F 2 0 為其右焦點 1 求橢圓 C 的方程 2 是否存在平行于 OA 的直線 l 使得直線 l與橢圓 C 有公共點 且直線 OA 與 l的距離等 于 4 若存在 求出直線 的方程 若不存在 請說明理由 命題意圖 本小題主要考查直線 橢圓等基礎知識 考查運算求解能力 推理論證能力 考查函數(shù)與方程思想 數(shù)形結合思想 化歸與轉化思想 解析 1 依題意 可設橢圓 C 的方程為 21 a 0 b xy 且可知左焦點為 2010 年高考數(shù)學試題分類匯編 三角函數(shù) 2010 上海文數(shù) 19 本題滿分 12 分 已知 02x 化簡 2lg costan1si lg cos lg 1sin2 2xxx 解析 原式 lg sinx cosx lg cosx sinx lg sinx cosx 2 0 2010 湖南文數(shù) 16 本小題滿分 12 分 已知函數(shù) 2 sinifxx I 求函數(shù) 的最小正周期 II 求函數(shù) fx的最大值及 fx取最大值時 x 的集合 2010 浙江理數(shù) 18 本題滿分 l4 分 在 ABC 中 角 A B C 所對的邊分別為 a b c 已 知 1cos24C I 求 sinC 的值 當 a 2 2sinA sinC 時 求 b 及 c 的長 解析 本題主要考察三角變換 正弦定理 余弦定理等基礎知識 同事考查運算求解能力 解 因為 cos2C 1 2sin2C 14 及 0 C 所以 sinC 104 解 當 a 2 2sinA sinC 時 由正弦定理 acsinAiC 得 c 4 由 cos2C 2cos2C 1 14 J 及 0 C 得 cosC 6 由余弦定理 c2 a2 b2 2abcosC 得 b2 b 12 0 解得 b 6或 2 所以 b b 6 c 4 或 c 4 2010 全國卷 2 理數(shù) 17 本小題滿分 10 分 ABC 中 D為邊 上的一點 3BD 5sin13 3cos5ADC 求 命題意圖 本試題主要考查同角三角函數(shù)關系 兩角和差公式和正弦定理在解三角形中 的應用 考查考生對基礎知識 基本技能的掌握情況 參考答案 由 cos ADC 0 知 B 由已知得 cosB sin ADC 從而 sin BAD sin ADC B sin ADCcosB cos ADCsinB 由正弦定理得 所以 點評 三角函數(shù)與解三角形的綜合性問題 是近幾年高考的熱點 在高考試題中頻繁出 現(xiàn) 這類題型難度比較低 一般出現(xiàn)在 17 或 18 題 屬于送分題 估計以后這類題型仍會保 留 不會有太大改變 解決此類問題 要根據(jù)已知條件 靈活運用正弦定理或余弦定理 求 邊角或將邊角互化 2010 陜西文數(shù) 17 本小題滿分 12 分 在 ABC 中 已知 B 45 D 是 BC 邊上的一點 AD 10 AC 14 DC 6 求 AB 的長 解 在 ADC 中 AD 10 AC 14 DC 6 由余弦定理得 cos 22ADC 1036912 ADC 120 ADB 60 在 ABD 中 AD 10 B 45 ADB 60 由正弦定理得 sinsiBAD AB 310ii6256ss45AD 2010 遼寧文數(shù) 17 本小題滿分 12 分 在 BC 中 abc 分別為內角 ABC 的對邊 且 2sin sin 2 sinAb 求 的大小 若 i1 試判斷 的形狀 解 由已知 根據(jù)正弦定理得 cbca 2 2 即 bca 22 由余弦定理得 Acos2 故 10 2cosA 由 得 sinsinisin22CB 又 sin CB 得 1B 因為 90 0 故 所以 A 是等腰的鈍角三角形 2010 遼寧理數(shù) 17 本小題滿分 12 分 在 ABC 中 a b c 分別為內角 A B C 的對邊 且2sin sin 2 sin aBcb 求 A 的大小 求 i的最大值 解 由已知 根據(jù)正弦定理得 2 2 abcbc 即 22abc 由余弦定理得 2cosA 故 1cos2A A 120 6 分 由 得 insin 60 BCB 31cosin2i 60 B 故當 B 30 時 sinB sinC 取得最大值 1 12 分 2010 全國卷 2 文數(shù) 17 本小題滿分 10 分 ABC 中 D為邊 上的一點 3D 5sin13B 3cos5ADC 求 解析 本題考查了同角三角函數(shù)的關系 正弦定理與余弦定理的基礎知識 由 與 的差求出 BA 根據(jù)同角關系及差角公式求出 的正弦 在三角 形 ABD 中 由正弦定理可求得 AD 2010 江西理數(shù) 17 本小題滿分 12 分 已知函數(shù) 21cotsinisin4fxxmx 1 當 m 0 時 求 fx在區(qū)間 38 上的取值范圍 2 當 tan2 時 5 fa 求 m 的值 解析 考查三角函數(shù)的化簡 三角函數(shù)的圖像和性質 已知三角函數(shù)值求值問題 依托 三角函數(shù)化簡 考查函數(shù)值域 作為基本的知識交匯問題 考查基本三角函數(shù)變換 屬于 中等題 解 1 當 m 0 時 22cos 1cos2in insiinsx xfxxx 1 2sin 1 4x 由已知 3 84x 得 22 1 x 從而得 f的值域為 2 0 2 2cos1insi sin 4xfxmx 化簡得 1 1 co 2 當 tan 得 22sitasinn5a 3cos2a 代入上式 m 2 2010 安徽文數(shù) 16 本小題滿分 12 分 ABC 的面積是 30 內角 ABC所對邊長分別為 abc 12os3A 求 若 1cb 求 a的值 命題意圖 本題考查同角三角函數(shù)的基本關系 三角形面積公式 向量的數(shù)量積 利用 余弦定理解三角形以及運算求解能力 解題指導 1 根據(jù)同角三角函數(shù)關系 由 12cos3A 得 sin的值 再根據(jù) ABC 面 積公式得 56bc 直接求數(shù)量積 BC 由余弦定理 2cosab 代入已 知條件 及 求 a 的值 解 由 12os3A 得 215sin 3 又 in0bc 56bc 12os43BC 22caA 12 cos 156 53bA 5 規(guī)律總結 根據(jù)本題所給的條件及所要求的結論可知 需求 b的值 考慮已知ABC 的面積是 30 1cos3 所以先求 sin的值 然后根據(jù)三角形面積公式得bc 的值 第二問中求 a 的值 根據(jù)第一問中的結論可知 直接利用余弦定理即可 2010 重慶文數(shù) 18 本小題滿分 13 分 小問 5 分 小問 8 分 設 的內角 A B C 的對邊長分別為 a b c 且 3 2 3c 3 2a 4 bc 求 sinA 的值 求 2sin si 441co2ABC 的值 2010 浙江文數(shù) 18 本題滿分 在 ABC 中 角 A B C 所對的邊分別為 a b c 設 S 為 ABC 的面積 滿足 223 4Sabc 求角 C 的大小 求 sinAB 的最大值 2010 重慶理數(shù) 16 本小題滿分 13 分 I 小問 7 分 II 小問 6 分 設函數(shù) 2coscos 3xfxR I 求 fx的值域 II 記 ABC 的內角 A B C 的對邊長分別為 a b c 若f 1 b 1 c 3 求 a 的值 2010 山東文數(shù) 17 本小題滿分 12 分 已知函數(shù) 2 sin cosfxxx 0 的最小正周期為 求 的值 將函數(shù) yf的圖像上各點的橫坐標縮短到原來的 12 縱坐標不變 得到 函數(shù) ygx 的圖像 求函數(shù) gx 在區(qū)間 0 16 上的最小值 2010 北京文數(shù) 15 本小題共 13 分 已知函數(shù) 2 cosinfxx 求 3 的值 求 fx的最大值和最小值 解 22cosin3 314 1 cos fxxx 2cs R 因為 ox 所以 當 cs1x 時 fx取最大值 2 當 cos0 x 時 f 去最小值 1 2010 北京理數(shù) 15 本小題共 13 分 已知函數(shù) x f2cosin4cosx 求 3 的值 求 x f的最大值和最小值 解 I 2392cosin4cos1334 II 2 1 fxxx 2cs 73 o 3x xR 因為 cs 1 所以 當 x 時 fx取最大值 6 當 2cos3x 時 fx取最小值73 2010 四川理數(shù) 19 本小題滿分 12 分 證明兩角和的余弦公式 C cos cossin 1 由 C 推導兩角和的正弦公式 Sincosi 2 已知 ABC 的面積 1 32SAB 且 35csB 求 cosC 本小題主要考察兩角和的正 余弦公式 誘導公式 同角三角函數(shù)間的關系等基礎知識及 運算能力 解 1 如圖 在執(zhí)教坐標系 xOy 內做單位圓 O 并作出角 與 使角 的始邊 為 Ox 交 O 于點 P1 終邊交 O 于 P2 角 的始邊為 OP2 終邊交 O 于 P3 角 的始邊為 OP1 終邊交 O 于 P4 則 P1 1 0 P2 cos sin P3 cos sin P 4 cos sin 由 P1P3 P 2P4 及兩點間的距離公式 得 cos 1 2 sin 2 cos cos 2 sin sin 2 展開并整理得 2 2cos 2 2 cos cos sin sin cos cos cos sin sin 4 分 由 易得 cos sin sin 2 cos sin cos 2 cos cos cos sin sin sin cos cos sin 6 分 2 由題意 設 ABC 的角 B C 的對邊分別為 b c 則 S 12bcsinA ABC bccosA 3 0 A 0 2 cosA 3sinA 又 sin2A cos 2A 1 sinA 10 cosA 310 由題意 cosB 35 得 sinB 4 cos A B cosAcosB sinAsinB 10 故 cosC cos A B cos A B 12 分 2010 天津文數(shù) 17 本小題滿分 12 分 在 ABC 中 cosC 證明 B C 若 csA 13 求 sin 4B3 的值 解析 本小題主要考查正弦定理 兩角和與差的正弦 同角三角函數(shù)的基本關系 二倍 角的正弦與余弦等基礎知識 考查基本運算能力 滿分 12 分 證明 在 ABC 中 由正弦定理及已知得 sinBC co 于是 sinBcosC cosBsinC 0 即 sin B C 0 因為 從而 B C 0 所以 B C 解 由 A B C 和 得 A 2B 故 cos2B cos 2B cosA 13 又 0 2B ACOOAC 故 且 對 于 線 段 上 任 意 點 P有 O 而小艇的最 高航行速度只能達到 30 海里 小時 故輪船與小艇不可能在 A C 包含 C 的任意位置相 遇 設 D 90 103tanRtD 則 在 中 OD 103cos 由于從出發(fā)到相遇 輪船與小艇所需要的時間分別為 tt 和 tv 所以 103tan 103cosv 解得 1533 0 sin sin 2vv 又 故 從而 9 ta 由 于 時 取 得 最 小 值 且最小值為 3 于是 當 30 時 103tnt 取得最小值 且最小值為 2 此時 在 OAB 中 20AB 故可設計航行方案如下 航行方向為北偏東 航行速度為 30 海里 小時 小艇能以最短時間與輪船相遇 2010 安徽理數(shù) 16 本小題滿分 12 分 設 ABC 是銳角三角形 abc分別是內角 ABC所對邊長 并且2 2sini sin sin3A 求角 的值 若 1 7BCa 求 bc 其中 c 2010 江蘇卷 17 本小題滿分 14 分 某興趣小組測量電視塔 AE 的高度 H 單位 m 如示意圖 垂直放置的標桿 BC 的高度 h 4m 仰角 ABE ADE 1 該小組已經(jīng)測得一組 的值 tan 1 24 tan 1 20 請據(jù)此算出 H 的值 2 該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后 認為適當調整標桿到電視塔的距離 d 單位 m 使 與 之差較大 可以提高測量精確度 若電視塔 的實際高度為 125m 試問 d 為多少時 最大 解析 本題主要考查解三角形的知識 兩角差的正切及不等式的應用 1 tantanHHAD 同理 tanHAB tanhD AD AB DB 故得 tth 解得 41 24tt0 因此 算出的電視塔的高度 H 是 124m 2 由題設知 dAB 得 tan tHhdADBd 2tantan 1t 1HhdhdHd 2 Hhdh 當且僅當 152h 時 取等 號 故當 5 時 tan 最大 因為 02 則 02 所以當 5d 時 最大 故所求的 d是 m 2010 江蘇卷 23 本小題滿分 10 分 已知 ABC 的三邊長都是有理數(shù) 1 求證 cosA 是有理數(shù) 2 求證 對任意正整數(shù) n cosnA 是有理數(shù) 解析 本題主要考查余弦定理 數(shù)學歸納法等基礎知識 考查推理論證的能力與分析問題 解決問題的能力 滿分 10 分 方法一 1 證明 設三邊長分別為 abc 22osbcaA bc是有理數(shù) 22bca 是有理數(shù) 分母 2為正有理數(shù) 又有理數(shù)集對于除法的具有封閉 性 22c 必為有理數(shù) cosA 是有理數(shù) 2 當 1n 時 顯然 cosA 是有理數(shù) 當 時 2oscs1A 因為 cosA 是有理數(shù) cos2A也是有理數(shù) 假設當 k 時 結論成立 即 coskA cos 1 k 均是有理數(shù) 當 1n 時 cs1csoinkA 1o s cos 2kAkA 1cs1cosco2kk 解得 s A cosA coskA 1 均是有理數(shù) cosco 1 kAk 是有理數(shù) cos 1 kA 是有理數(shù) 即當 n 時 結論成立 綜上所述 對于任意正整數(shù) n cosnA 是有理數(shù) 方法二 證明 1 由 AB BC AC 為有理數(shù)及余弦定理知22cosABC 是有理數(shù) 2 用數(shù)學歸納法證明 cosnA 和 sinA 都是有理數(shù) 當 1n時 由 1 知 co是有理數(shù) 從而有 2sin1cosAA 也是有理數(shù) 假設當 k 時 sk和 ink 都是有理數(shù) 當 1n 時 由 co1cosisnAA si sin s i cos ins coAkkkkAk 及 和歸納假設 知 和 ins1 都是有理數(shù) 即當 1k 時 結論成立 綜合 可知 對任意正整數(shù) n cosnA 是有理數(shù)