2019版中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第十二講 兩圓位置關(guān)系學(xué)案 新人教版.doc
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2019版中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第十二講 兩圓位置關(guān)系學(xué)案 新人教版.doc
2019版中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第十二講 兩圓位置關(guān)系學(xué)案 新人教版
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1、學(xué)會(huì)通過圓心距d和圓半徑d、r的關(guān)系來確定兩圓的位置關(guān)系。
2、應(yīng)用與兩圓位置關(guān)系相關(guān)定理解題。
【知識(shí)框圖】
兩圓位置關(guān)系的判定和性質(zhì)
兩圓位置關(guān)系 兩圓相切相交的相關(guān)定理
公切線定義、種類及求公切線長
【典型例題】
例1:(1)一個(gè)圓的半徑為9cm,另一個(gè)圓的半徑為4cm,圓心距為3cm,判別兩個(gè)圓的位置關(guān)系。
(2)有兩個(gè)圓,一個(gè)圓的半徑R=4,兩圓的圓心距是5,另一個(gè)圓的關(guān)徑r滿足什么條件時(shí)這兩個(gè)圓外離。
(3)相切兩圓的圓心距為5,其中一個(gè)圓的半徑為3,那么另一個(gè)圓的半徑是多少。
(4)兩個(gè)圓的圓心距為2cm,一個(gè)圓的半徑為10cm,要使這兩個(gè)圓內(nèi)含,另一個(gè)圓的半徑應(yīng)滿足什么條件?
(5)已知兩個(gè)圓互相內(nèi)切,圓心距是2cm,如果一個(gè)圓的半徑是3cm,那么另一個(gè)圓的半徑是多少?
解:(1)內(nèi)含 (2)0<r<1 (3)2或8 (4)r>12cm或0<r<8cm (5)1cm或5cm
評注:本題考查兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是掌握好兩圓位置關(guān)系的判定性質(zhì)公式,緊緊抓住d、R、r之間關(guān)系。
例2:⊙O1和⊙O2外切于點(diǎn)A,直線BD切⊙O1于點(diǎn)B,交⊙O2于點(diǎn)C,D,直線DA交⊙O于點(diǎn)E,(1)求證:∠BAC=∠ABC+∠D (2)AB2=ACAE
證明:(1)過點(diǎn)A作⊙O和⊙O的公切線MN。 B M C D
則∠MAC=∠D O1 A O2
∵CB是⊙O1的切線 E N
∴∠ABC=∠BAM ∠BAC=∠BAM+∠MAC=∠ABC+∠D
(2)連結(jié)BE,則∠E=∠ABC
又∠EAB=∠ABD+∠D=∠BAC
∴ΔABE∽ΔACB ∴ =
∴AB2=ACAE
評注:兩圓相切,解兩圓公切線是常見輔助線?! 。?
例3:已知⊙O1和⊙O2的半徑是5和 , O1 ?。谩2
它們的公共弦AB=6,求O1O(jiān)2的長?! 。?
解:連結(jié)O1A、O2A
∵⊙ O1和⊙O2相交于A、B
∴O1O(jiān)2⊥AB,AC=BC= AB=3
A
∴ O1C= = =4 O1 O2?。?
O2C= = =2 B
如圖(1)O1O(jiān)2= O1C+ O2C=4+2=6
(2)O1O(jiān)2= O1C- O2C=4-2=2
答:O1O(jiān)2的長是6或2。
【選講例題】
例4:已知⊙O與⊙O′相交于A、B兩點(diǎn),過點(diǎn)A作⊙O′的切線交⊙O于點(diǎn)C,過點(diǎn) B作兩圓的割線分別交⊙O,⊙O′于點(diǎn)E、F,EF 與AC相交于點(diǎn)P。
(1)求證:PAPE=PCPF (2)求證: =
(3)當(dāng)⊙O′與⊙O為等圓,且PC∶CE∶EP=3∶4∶5時(shí),求ΔECP與ΔFAP的面積的比值。
證明:(1)連結(jié)AB
∵AC為⊙O′的切線 ∴∠CAB=∠F ?。?
又∵弧BC=弧BC
∴∠E=∠CAB ?。拧 。小 。隆。?
∴∠E=∠F ∴CE∥AF ?。?
∴ = ∴PAPE=PCPF
(2) ∵ PAPE=PCPF ∴ =
又∵PA為⊙O′切線
PBF為⊙O′的割線
∴PA=PBPF
∴ = =
(3)連結(jié)AE
由(1)ΔPEC∽ΔPFA PC∶CE∶EP=3∶4∶5
∴ PA∶FA∶PF=3∶4∶5
設(shè)PC=3x CE=4x EP=5x
PA=3y FA= 4y PF=5y
則EP2=PC2+CE2, PF2=PA2+FA2
∴∠C=900, ∠CAF=900
AE是⊙O直徑,AF是⊙O′的直徑
又⊙O與⊙O′等圓, ∴AE=AF=4y
∵AC2+CE2=AE2
∴(3x+3y) 2+(4x) 2=(4y) 2
即25x2+18xy-7y2=0
∴25x=7y x= -y(舍去) ∴ =
∴SΔBCP∶SΔFAP=x2∶y2=49∶625
評注:本題考查了弦切角定理,圓周角定理,平行線分線段成比例定理,切割線定理,勾股定理,及相似三角形的性質(zhì)和判定。
【課堂小結(jié)】
本節(jié)內(nèi)容主要學(xué)習(xí)了兩圓位置關(guān)系的判定,主要體現(xiàn)在圓心距d和兩圓半徑R、r關(guān)系,同時(shí)也應(yīng)用圓當(dāng)中一些定理解綜合題和公切線長計(jì)算。
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1、選擇題
(1)已知兩圓的半徑分別為2,5,且圓心距等于2,則兩圓位置關(guān)系是( )
A、外離 B、外切 C、相切 D、內(nèi)含
(2)若兩圓半徑R和r恰好是方程x2-4x+2=0兩個(gè)根,圓心距d=2,則兩圓位置關(guān)系是( )
A、外離 B、外切 C、內(nèi)切 D、相交
2、填空題
(1)已知三角形三邊長為6、8、10,若以三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心作圓且使三個(gè)圓兩面三刀兩相外切,則這三個(gè)圓的半徑為_________。
(2)如果兩圓半徑為5cm和4cm ,它們相交,且公共弦長是6cm,則圓心距為________.
3、已知⊙O1和⊙O2相交于A、B,經(jīng)過點(diǎn)A的直線分別交兩圓于點(diǎn)C、D,經(jīng)過點(diǎn)B的直線分別交兩圓于點(diǎn)E、F,且CD∥EF,求證:CE=DF。
?。谩 。痢 。?
O1 O2
?。拧 。隆 。?
4、如圖,兩圓相切于A點(diǎn),過A點(diǎn)作大圓的兩條弦AB、AC,分別交小圓于F、E,連結(jié)BE,且延長BE與大圓相交于H,若BE∶AC=2∶3,求BF與CH的比值。
?。谩。?
?。?
F
?。隆 。?
5、如圖,⊙O1,⊙O2,⊙O3兩兩外切于A、B、C,其中⊙O2,⊙O3是等圓,已知O1O(jiān)2= O1O(jiān)3=10cm,O2O3=10 cm,求(1)⊙O1,⊙O2與⊙O3的半徑r1、r2、r3(2)求ΔO1O(jiān)2O3的面積(3)ΔABC周長及三個(gè)內(nèi)角度數(shù)。
O1
A C
O2 B O3
【提高練習(xí)】
1、選擇題
(1)已知⊙O1與⊙O2兩條外公切線互相垂直,⊙O1的直徑為5cm,⊙O2的直徑為20cm,則兩圓的一條外公切線長為( )
A、5.5cm B、7.5cm C、6.5cm D、12.5cm
(2)如圖矩形長25cm,寬18cm,去掉一個(gè)和三角形相切的⊙A后,剩下的部分能剪出的最大圓的直徑是( )
A.8cm B.7cm C.6cm D.4cm A
2、填空題
(1)兩圓的半徑分別為17cm,10cm,圓心距為21cm,則兩圓的公切線與連心線交點(diǎn)分別與兩圓圓心的距離是____________.
(2)兩圓外切于A點(diǎn),公切線BC,B、C為切點(diǎn),則∠BAC=_______.
3、如圖,已知⊙O1與⊙O2 外切于點(diǎn)P,AB為外公切線,切點(diǎn)為A、B,過點(diǎn)P的內(nèi)公切線交AB于M,直線M O1交⊙O1于點(diǎn)C、D,直線M O2交⊙O2于點(diǎn)E、F,(1)求證:MD⊥MF
(2)求證:ΔEMC∽ΔDMF (3)若⊙O1與⊙O2半徑比為16∶9,求 的值。
A M B
【課后反思】