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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 6.4 數(shù)列求和教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　錯(cuò)位相減法求和 【例1】求和：Sn＝＋＋＋…＋. 【解析】(1)a＝1時(shí)，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝. (2)a≠1時(shí)，因?yàn)閍≠0， Sn＝＋＋＋…＋，① Sn＝＋＋…＋＋.② 由①－②得(1－)Sn＝＋＋…＋－＝－， 所以Sn＝. 綜上所述，Sn＝ 【點(diǎn)撥】(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，則求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法； (2)當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為字母時(shí)，應(yīng)對(duì)字母是否為1進(jìn)行討論； (3)當(dāng)將Sn與qSn相減合并同類項(xiàng)時(shí)，注意錯(cuò)位及未合并項(xiàng)的正負(fù)號(hào). 【變式訓(xùn)練1】數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為(　　) A.4－ B.4＋ C.8－ D.6－ 【解析】取n＝1，＝－4.故選C. 題型二　分組并項(xiàng)求和法 【例2】求和Sn＝1＋(1＋)＋(1＋＋)＋…＋(1＋＋＋…＋). 【解析】和式中第k項(xiàng)為ak＝1＋＋＋…＋＝＝2(1－). 所以Sn＝2[(1－)＋(1－)＋…＋(1－)] ＝－(＋＋…＋)] ＝2[n－]＝2[n－(1－)]＝2n－2＋. 【變式訓(xùn)練2】數(shù)列1, 1＋2, 1＋2＋22，1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n項(xiàng)和為(　　) A.2n－1 B.n2n－n C.2n＋1－n D.2n＋1－n－2 【解析】an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1， Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝2n＋1－n－2.故選D. 題型三　裂項(xiàng)相消法求和 【例3】數(shù)列{an}滿足a1＝8，a4＝2，且an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N*). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝(n∈N*)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn(n∈N*)，若對(duì)任意非零自然數(shù)n，Tn＞恒成立，求m的最大整數(shù)值. 【解析】(1)由an＋2－2an＋1＋an＝0，得an＋2－an＋1＝an＋1－an， 從而可知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則d＝＝－2， 所以an＝8＋(n－1)(－2)＝10－2n. (2)bn＝＝＝(－)， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(－)＋(－)＋…＋(－)] ＝(1＋－－)＝－－＞ ， 上式對(duì)一切n∈N*恒成立. 所以m＜12－－對(duì)一切n∈N*恒成立. 對(duì)n∈N*，(12－－)min＝12－－＝， 所以m＜，故m的最大整數(shù)值為5. 【點(diǎn)撥】(1)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)能轉(zhuǎn)化為f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂項(xiàng)相消法求和. (2)使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)，消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng). 【變式訓(xùn)練3】已知數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和為An，Bn，記cn＝anBn＋bnAn－anbn(n∈N*)，則數(shù)列{cn}的前10項(xiàng)和為(　　) A.A10＋B10 B. C.A10B10 D. 【解析】n＝1，c1＝A1B1；n≥2，cn＝AnBn－An－1Bn－1，即可推出{cn}的前10項(xiàng)和為A10B10，故選C. 總結(jié)提高 1.常用的基本求和法均對(duì)應(yīng)數(shù)列通項(xiàng)的特殊結(jié)構(gòu)特征，分析數(shù)列通項(xiàng)公式的特征聯(lián)想相應(yīng)的求和方法既是根本，也是關(guān)鍵. 2.數(shù)列求和實(shí)質(zhì)就是求數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式，它幾乎涵蓋了數(shù)列中所有的思想策略、方法和技巧，對(duì)學(xué)生的知識(shí)和思維有很高的要求，應(yīng)充分重視并系統(tǒng)訓(xùn)練.