第1章　解三角形(B) (時間：120分鐘　滿分：160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分) 1．在△ABC中，a＝2，b＝，c＝1，則最小角的大小為________． 2．△ABC的三內角A、B、C所對邊的長分別是a、b、c，設向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，則角C的大小為________． 3.在△ABC中，已知|||＝4，||＝1，S△ABC＝，則·＝________. 4．△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若c＝，b＝，B＝120°，則a＝________. 5．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，則的值為________． 6．已知銳角三角形的邊長分別為2,4，x，則x的取值范圍是________． 7．下列判斷中正確的是________．(填序號) ①△ABC中，a＝7，b＝14，A＝30°，有兩解； ②△ABC中，a＝30，b＝25，A＝150°，有一解； ③△ABC中，a＝6，b＝9，A＝45°，有兩解； ④△ABC中，b＝9，c＝10，B＝60°，無解． 8．在△ABC中，B＝30°，AB＝，AC＝1，則△ABC的面積為________． 9．在△ABC中，BC＝2，B＝，若△ABC的面積為，則tan C＝________. 10．在△ABC中，如果sin Asin B＋sin Acos B＋cos Asin B＋cos Acos B＝2，則△ABC的形狀是________三角形． 11．△ABC中，若a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，則角C的度數為________． 12．在△ABC中，若＝，則B＝________. 13．一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75°距塔64海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為________海里/小時． 14．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.若(b－c)cos A＝acos C，則cos A＝________. 二、解答題(本大題共6小題，共90分) 15．(14分)如圖，H、G、B三點在同一條直線上，在G、H兩點用測角儀器測得A的仰角分別為α，β，CD＝a，測角儀器的高是h，用a，h，α，β表示建筑物高度AB. - 1 - / 10 16．(14分)設銳角三角形ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，a＝2bsin A. (1)求B的大小． (2)若a＝3，c＝5，求b. 17．(14分)如圖所示，已知⊙O的半徑是1，點C在直徑AB的延長線上，BC＝1，點P是⊙O上半圓上的一個動點，以PC為邊作等邊三角形PCD，且點D與圓心分別在PC的兩側． (1)若∠POB＝θ，試將四邊形OPDC的面積y表示為關于θ的函數； (2)求四邊形OPDC面積的最大值． 18．(16分)為了測量兩山頂M、N間的距離，飛機沿水平方向在A、B兩點進行測量，A、B、M、N在同一個鉛垂平面內(如示意圖)．飛機能夠測量的數據有俯角和A，B間的距離，請設計一個方案，包括：①指出需要測量的數據(用字母表示，并在圖中標出)；②用文字和公式寫出計算M、N間的距離的步驟． 19．(16分)在△ABC中，內角A、B、C對邊的邊長分別是a、b、c.已知c＝2，C＝. (1)若△ABC的面積等于，求a，b. (2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面積． 20．(16分)如圖所示，扇形AOB，圓心角AOB等于60°，半徑為2，在弧AB上有一動點P，過P引平行于OB的直線和OA交于點C，設∠AOP＝θ，求△POC面積的最大值及此時θ的值． 第1章　解三角形(B) 答案 1. 解析　∵a>b>c，∴C最?。? ∵cos C＝＝＝， 又∵0<C<π，∴C＝. 2. 解析　∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0. ∴c2＝a2＋b2－ab，∵c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴cos C＝，又∵0<C<π，∴C＝. 3．±2 解析 S△ABC=||·||·sin A＝×4×1×sin A＝. ∴sin A＝.又∵0°<A<180°， ∴A＝60°或120°. ·＝||·||cos A＝4×1×cos A＝±2. 4. 解析　由正弦定理得＝， ∴sin C＝＝＝， ∵c<b，∴C為銳角． ∴C＝30°，∴A＝180°－120°－30°＝30°.∴a＝c＝. 5. 解析　由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A， 即72＝52＋AC2－10AC·cos 120°， ∴AC＝3.由正弦定理得＝＝. 6．2<x<2 解析　由題意，x應滿足條件， 解得：2<x<2. 7．② 解析?、伲篴＝bsin A，有一解； ②：A>90°，a>b，有一解； ③：a<bsin A，無解； ④：c>b>csin B，有兩解． 8.或 解析　由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B， ∴12＝()2＋BC2－2××BC×. 整理得：BC2－3BC＋2＝0. ∴BC＝1或2. 當BC＝1時，S△ABC＝AB·BCsin B＝××1×＝. 當BC＝2時，S△ABC＝AB·BCsin B＝××2×＝. 9. 解析　由S△ABC＝BC·BAsin B＝得BA＝1，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B， ∴AC＝，∴△ABC為直角三角形，其中A為直角， ∴tan C＝＝. 10．等腰直角 解析　由已知，得cos(A－B)＋sin(A＋B)＝2， 又|cos(A－B)|≤1，|sin(A＋B)|≤1， 故cos(A－B)＝1且sin(A＋B)＝1， 即A＝B且A＋B＝90°. 11．45°或135° 解析　由a4＋b4＋c4＝2c2a2＋2b2c2， 得cos2C＝＝＝?cos C＝±. ∴角C為45°或135°. 12．45° 解析　由正弦定理，＝. ∴＝.∴sin B＝cos B. ∴B＝45°. 13．8 解析　如圖所示， 在△PMN中，＝， ∴MN＝＝32， ∴v＝＝8(海里/小時)． 14. 解析　由(b－c)cos A＝acos C， 得(b－c)·＝a·，即＝， 由余弦定理得cos A＝. 15．解　在△ACD中，∠DAC＝α－β， 由正弦定理，得＝， ∴AC＝， ∴AB＝AE＋EB＝ACsin α＋h＝＋h. 16．解　(1)∵a＝2bsin A，∴sin A＝2sin B·sin A， ∴sin B＝.∵0<B<，∴B＝30°. (2)∵a＝3，c＝5，B＝30°. 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B＝(3)2＋52－2×3×5×cos 30°＝7. ∴b＝. 17．解　(1)在△POC中，由余弦定理， 得PC2＝OP2＋OC2－2OP·OC·cos θ＝5－4cos θ， 所以y＝S△OPC＋S△PCD＝×1×2sin θ＋×(5－4cos θ)＝2sin＋. (2)當θ－＝，即θ＝時，ymax＝2＋. 答　四邊形OPDC面積的最大值為2＋. 18．解　?、傩枰獪y量的數據有：A點到M、N點的俯角α1、β1；B點到M、N點的俯角α2、β2；A、B的距離d(如圖所示)． ②第一步：計算AM，由正弦定理AM＝； 第二步：計算AN.由正弦定理AN＝； 第三步：計算MN，由余弦定理 MN＝. 19．解　(1)由余弦定理及已知條件得a2＋b2－ab＝4.又因為△ABC的面積等于， 所以absin C＝，由此得ab＝4. 聯立方程組解得 (2)由正弦定理及已知條件得b＝2a. 聯立方程組解得 所以△ABC的面積S＝absin C＝. 20．解　∵CP∥OB，∴∠CPO＝∠POB＝60°－θ，∠OCP＝120°. 在△POC中，由正弦定理得＝， ∴＝，∴CP＝sin θ. 又＝，∴OC＝sin(60°－θ)． 因此△POC的面積為 S(θ)＝CP·OCsin 120° ＝·sin θ·sin(60°－θ)× ＝sin θsin(60°－θ) ＝sin θ ＝2sin θ·cos θ－sin2θ ＝sin 2θ＋cos 2θ－ ＝sin－， ∴θ＝時，S(θ)取得最大值為. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！