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1、第二章 極限與連續(xù) 函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念之一， 是高等數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象 . 極限概 念是微積分的理論基礎(chǔ)，極限方法是 微積分的基本分析方法，因此，掌握、 運(yùn)用好極限方法是學(xué)好微積分的關(guān)鍵 . 連續(xù)是函數(shù)的一個(gè)重要性態(tài) . 本章將介紹極限與連續(xù)的基本知識(shí)和有 關(guān)的基本方法，為今后的學(xué)習(xí)打下必要的 基礎(chǔ) . 二、數(shù)列的有關(guān)概念 四、小結(jié) 三、數(shù)列極限的定義 第一節(jié) 數(shù)列的極限 一、引例 “割之彌細(xì)，所 失彌少，割之又 割，以至于不可 割，則與圓周合 體而無(wú)所失矣” 1. 割圓術(shù)： 播放 劉徽 一、引例 R 正六邊形的面積 1A 正十二邊形的面積 2A 正 形的面積 126 n nA , 32

2、1 nAAAA S 二、數(shù)列 (sequence)的有關(guān)概念 1. 1. 定義 2.1 : 一個(gè)定義在正整數(shù)集合上的函數(shù) )( nfy n ( 稱(chēng)為 整標(biāo)函數(shù) ) ，當(dāng)自變量 n 按正整數(shù) 1 ， 2 ， 3 ，依次增大的順序取值時(shí)，函數(shù)值按相 應(yīng)的順序排成一串?dāng)?shù)： ,)(,),3(,)2(,)1( nffff 稱(chēng)為一個(gè)無(wú)窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱(chēng) 數(shù)列 . 數(shù)列中的每一個(gè)數(shù) 稱(chēng) 為 數(shù)列的 項(xiàng) , )( nf 稱(chēng)為數(shù)列的 通項(xiàng) 。 1 ,1 ,1 ,1 ;)1( 1 nny ,1 ,0 ,1 ,0 例如 16 ,8 ,4 ,2 161 ,81 ,41 ,21 ;2 nny ;21nny 2 )1(1 n

3、ny .)1(1 1 時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列 nn n 播放 三、數(shù)列極限的定義 (Limit of a sequence) 問(wèn)題 : 當(dāng) 無(wú)限增大時(shí) , 是否無(wú)限接近于某一 確定的數(shù)值 ?如果是 ,如何確定 ? nyn .)(, 111 1 無(wú)限接近于無(wú)限增大時(shí)當(dāng) nyn n n 問(wèn)題 : “無(wú)限接近”意味著什么 ?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言 刻畫(huà)它 . 1ny nn n 11)1( 1 通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察 : ,1001給定 ,10011 n由 ,1 0 0 時(shí)只要 n ,10 011 ny有 ,10001給定 ,1 0 0 0 時(shí)只要 n ,10 00 011 ny有 ,1 0 0 0 01給定

4、 ,1 0 0 0 0 時(shí)只要 n ,10 0011 ny有 ,0給定任意 ,) 1( 時(shí)只要 Nn .成立有 1ny 定義 2.2 如果對(duì)于任意給定的正數(shù) , 總存在 一 個(gè) 正整數(shù) N , 當(dāng) Nn 時(shí) , Ay n 恒 成立 , 則稱(chēng)當(dāng) n 趨于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列 n y 以常數(shù) A 為 極限 ，記作 Ay n n lim )( nAy n 或 如果一個(gè)數(shù)列有極限，我們就稱(chēng)這個(gè)數(shù) 列是收斂的，否則就稱(chēng)它是發(fā)散的 . 注意： ;.1 的無(wú)限接近與刻劃了不等式 AyAy nn .2 有關(guān)與任意給定的正數(shù) N .Ay，Ay nn 收斂于亦稱(chēng)為極限以 幾何解釋 : x 1y2y 2Ny1Ny 3y

5、2 A A A .)( ,),(, 落在其外個(gè)至多只有只有有限個(gè) 內(nèi)都落在所有的點(diǎn)時(shí)當(dāng) N AAyNn n ., 因而也是發(fā)散的我們說(shuō)它是振蕩無(wú)極限 , 時(shí)當(dāng)例如 n ;021 收斂于nny ;111 收斂于ny n ;, 所以它是發(fā)散的無(wú)極限而 ny n 2 ,)( 102 11 時(shí)而取時(shí)而取 n ny 例 1 .212lim nnn利用定義證明 證 2ny 212 nn n 1 要使對(duì)于任意給定的 ,0 .1 就可以了只要取 n ,11 時(shí)則當(dāng)取正整數(shù) NnN 212l i m n n n 即 ,0, 對(duì)于任意給定的因此 . 2 恒成立ny ,212, 為極限以所以 nny n 不能根據(jù)極限的定義求出數(shù)列的極限 ,只能 用定義驗(yàn)證某常數(shù)是否是某數(shù)列的極限 . 注意： 1 1 12 1 n n n n xn xn x： , , .)( 取奇數(shù)時(shí)當(dāng) 取偶數(shù)時(shí)當(dāng) 是發(fā)散的數(shù)列例 四、小結(jié) 數(shù)列 :研究其變化規(guī)律 ; 數(shù)列極限 :極限思想、極限定義、幾何意義 ;