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1、對數(shù)來自維基百科 x=0 各種底數(shù)的對數(shù)：紅色函數(shù)底數(shù)是e,綠色函數(shù)底數(shù)是10,而紫色函數(shù)底數(shù)是1.7。在數(shù)軸上每個刻度是一個單位。所有底數(shù)的對數(shù)函數(shù)都通過點（1,0），因為任何數(shù)的0次冪都是1，而底數(shù)卩的函數(shù)通過點（卩,1），因為任何數(shù)的1次冪都是自身1。曲線接近y軸但永不觸及它，因為的奇異性。 在數(shù)學(xué)中，數(shù)？X（對于底數(shù)？卩）的對數(shù)是卩y?的指數(shù)？y,使得?x=仏底數(shù)？卩？的值一定不能是1或0（在擴(kuò)展到復(fù)數(shù)的復(fù)對數(shù)情況下不能是1的方根），典型的是e、？10或2。數(shù)x（對于底數(shù)卩）的對數(shù)通常寫為y=log目遠(yuǎn)。 當(dāng)x和卩進(jìn)一步限制為正實數(shù)的時候，對數(shù)是1個唯一的實數(shù)。例如，因為我們可

2、以得出4=log381，用日常語言說，對81以3為基的對數(shù)是4。 底數(shù)a是固定的而只有一個參數(shù)x。所以的對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù)。 對數(shù)函數(shù)函數(shù)logax依賴于a和x二者，但是術(shù)語對數(shù)函數(shù)在標(biāo)準(zhǔn)用法中用來稱呼形如logax的函數(shù)，在其中對每個基0=丨斤1工°、1的值（不得是負(fù)數(shù)、0或1）只有唯一的對數(shù)函數(shù)。從這個角度看，底數(shù)詞語“對數(shù)”經(jīng)常用來稱呼對數(shù)函數(shù)自身和這個函數(shù)的1個特定值對數(shù)函數(shù)圖像和指數(shù)函數(shù)圖像關(guān)于直線y=x對稱，互為逆函數(shù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)有: 1. 都過(1,0)點； 2. 定義域為|R|工0,值域為R; 3. a>1,在(0,+g)上是增函數(shù)；1>a>0時，在

3、(0,+*)上是減函數(shù)。 常用公式 -和差logttMN=logttO"=呃嚴(yán)=(m+n)log/ =m\ogQp+nlogtt/3=logtt+bg。Pn=logttA/+\ogQNlog?y=log°M+l°g誌=log°M-log』 *基變換 *指系Inxm111Q"mlna: nIna=—log?^71 *還原=X =loge *互換財噸』_^ylog^AJ *倒數(shù)tn11 *鏈?zhǔn)絣ncrln/3_lnorI117=lOSyQ有理和無理指數(shù)如果n是有理數(shù)，『表示等于卩的n個因子的乘積: pX0X…：X0但是，如果卩是不等于1的正實數(shù)，這個定義可以擴(kuò)展到在一個域中

4、的任何實數(shù)n（參見冪）。類似的，對數(shù)函數(shù)可以定義于任何正實數(shù)。對于不等于1的每個正底數(shù)卩，有一個對數(shù)函數(shù)和一個指數(shù)函數(shù)，它們互為反函數(shù)。 對數(shù)可以簡化乘法運算為加法，除法為減法，冪運算為乘法，根運算為除法。所以，在發(fā)明電子計算機(jī)之前，對數(shù)對進(jìn)行冗長的數(shù)值運算是很有用的，它們廣泛的用于天文、工程、航海和測繪等領(lǐng)域中。它們有重要的數(shù)學(xué)性質(zhì)而在今天仍在廣泛使用中。 底數(shù)最常用做底數(shù)的是e_，J」、.P'丨r；_，■、10和2。當(dāng)寫出不帶底數(shù)的“l(fā)og”的時候，意圖要從上下文中確定： ?自然對數(shù)｛Naturallog): 1叫〔￡1氏H,有時寫為’朋込;在微積分、數(shù)論中。 *常用對數(shù)(C

5、ommonlog,lc)[10進(jìn)制對數(shù)(Decimallog,ld)、科學(xué)對數(shù)(Scientificlog,ls)]:卜沢；：],」;或簡寫(極易產(chǎn)生歧義)為有時寫為■-■'■1'11'在工程中和在使用對數(shù)表簡化計算的時候。 *二進(jìn)制對數(shù)(Binary\log):-;有時寫為lbx;在信息論和音程中。 *不確定對數(shù)在底數(shù)無關(guān)緊要的時候，比如計算復(fù)雜性理論用大O符號描述算法的漸進(jìn)行為的時候。 為了避免混淆，在可能有歧義的時候最好指定底數(shù)。 底數(shù)變換(換底公式)盡管有很多有用的恒等式，對計算器最重要的是找到不是建造于計算器內(nèi)的底數(shù)底數(shù)a的對數(shù): (通常是loge和log10)的其他底數(shù)的

6、對數(shù)。要使用其他底數(shù)卩找到 1"警logpQ 此外，這個結(jié)果蘊涵了所有對數(shù)函數(shù)（任意底數(shù)）都是相互類似的。所以用計算器計算對 134217728底數(shù)2的對數(shù): log2134217728= ln2 對數(shù)的用途對數(shù)對解冪是未知的方程是有用的。它們有簡單的導(dǎo)數(shù)，所以它們經(jīng)常用在解積分中。對數(shù)是三個相關(guān)的函數(shù)中的一個。在等式bn=x中，b可以從x的n次方根，n從x的b底數(shù)的對數(shù)，x從b的n次的冪來確定。參見對數(shù)恒等式得到掌控對數(shù)函數(shù)的一些規(guī)則。 簡便計算對數(shù)把注意力從平常的數(shù)轉(zhuǎn)移到了冪。只要使用相同的底數(shù)，就會使特定運算更容易數(shù)的運算幕的運算對數(shù)恒等式 m+n+log^yxr

7、xm m-nlog^_=log^x一logflyy log卩刃=這些關(guān)系使在兩個數(shù)上的這種運算更快，在加法計算器出現(xiàn)之前正確的使用對數(shù)是基本技能。 群論從純數(shù)學(xué)的觀點來看，恒等式logoMN=logaM+logQN，在兩種意義上是基本的。首先，其他3個算術(shù)性質(zhì)可以從它得出。進(jìn)一步的，它表達(dá)了在正實數(shù)的乘法群和所有實數(shù)的加法群之間的同構(gòu)對數(shù)函數(shù)是從正實數(shù)的乘法群到實數(shù)的加法群的唯一連續(xù)同構(gòu)。 復(fù)對數(shù)復(fù)對數(shù)計算公式 Jlii2（c2+蟲）44（arctan￡+為1応） (匕+64)也+叫=品與口+b)一(出+殳11兀)@<±6?芒+殳洽){ggiqarctan^+2fc7rJ+j(

8、d+2nir)In(a24-H2)]-l-isin[c^arctan舟+2A:町+*(d+2n?r》lii(a2+i?)]}{aictan0=嘰fora0Z={fc,n}微積分自然對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是 Inx=dx通過應(yīng)用換底規(guī)則，其他底數(shù)的導(dǎo)數(shù)是ddlnzdxiOgbX=dxh^ 1xInft 自然對數(shù)1H￡的不定積分是Inxdx=xlnx—z+C, 而其他底數(shù)對數(shù)的不定積分是 XInb x+C=x\oSb-+C。 計算自然對數(shù)的級數(shù)有一些級數(shù)用來計算自然對數(shù)。［1］最簡單和低效的是OGn 12=Z71=1下做推導(dǎo): 由=1+T+T2+T3H

9、 1—X在兩邊積分得到-ln(l—x)=a;+—+yH 設(shè):-1.「并因此丁—一(："-!?,得到 更有效率的級數(shù)是 111Z= co2En=0(H、加+iJ 對帶有正實部的z。 推導(dǎo)：代換-x為x，得到^2-3丁4111(1+TJ—X——+孑+… 做減法，得到 In =In(1+t)—ln(1—t)=2t+2籌+2^- uU 1+TZ—1 z—設(shè)..并因此，得到例如，應(yīng)用這個級數(shù)于 11得到 一H1N+1普+1105并因此 In1,2=5V+3-100+5■10000+7-1000000十…丿 =0.2?(1.0000000…+0.00

10、3+0.00002+0.000000142857+…)=0.2-1.00335-^=0.200670--在這里我們在第一行的總和中提出了因數(shù)1/10。 對于任何其他底數(shù)B,我們使用 計算機(jī)多數(shù)計算機(jī)語言把log(x)用做自然對數(shù)，而常用對數(shù)典型的指示為Iog10(x)。參數(shù)和返回值典型的是浮點數(shù)據(jù)類型因為參數(shù)是浮點數(shù)，可以有用的做如下考慮： 浮點數(shù)值x被表示為尾數(shù)m和指數(shù)n所形成的x=n2 因此ln(x)=ln(m)+nln(2)。 m—11u—0u<—所以，替代計算ln(x)，我們計算對某個m的ln(m)使得1

11、<0某些機(jī)器使用在范圍?■--內(nèi)的尾數(shù)，并且在這個情況下u的值將在范圍「；內(nèi)。在任何一種情況下，這個級數(shù)都是更容易計算的。 一般化普通的正實數(shù)的對數(shù)一般化為負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)參數(shù)，盡管它是多值函數(shù)，需要終止在分支點0上的分支切割，來制作一個普通函數(shù)或主分支。復(fù)數(shù)z的(底數(shù)e)的對數(shù)是復(fù)數(shù)ln(|z|)+iarg(z)，這里的|z|是z的模，arg(z)是輻角，而i是虛單位；詳情參見復(fù)對數(shù)。 n是指定在群運算上的冪。對于某些有限群, 離散對數(shù)是在有限群理論中的相關(guān)概念。它涉及到解方程bn=x，這里的b和x是這個群的元素，而據(jù)信離散對數(shù)是非常難計算的，而離散指數(shù)非常容易。這種不對稱性可用于公開密鑰加

12、密。 矩陣對數(shù)是矩陣指數(shù)的反函數(shù)。 對于不等于1的每個正數(shù)b,函數(shù)logb(x)是從在乘法下的正實數(shù)的群到在加法下(所有)實數(shù)的群的同構(gòu)。它們是唯一的連續(xù)的這種同構(gòu)。對數(shù)函數(shù)可以擴(kuò)展為在乘法下正實數(shù)的拓?fù)淇臻g的哈爾測度。 歷史對數(shù)方法是蘇格蘭的Merchiston男爵約翰?納皮爾1614年在書《MirificiLogarithmorumCanonisDescriptio」》中首次公開提出的。（JoostBtrgi獨立的發(fā)現(xiàn)了對數(shù)；但直到納皮爾之后4年才發(fā)表）這個方法對科學(xué)進(jìn)步有所貢獻(xiàn)，特別是對天文學(xué)，使某些繁難的計算成為可能。在計算器和計算機(jī)發(fā)明之前，它持久的用于測量、航海、和其他實用數(shù)學(xué)分支中。 對數(shù)表主條目：對數(shù)表20世紀(jì)的常用對數(shù)表的一個實例 在發(fā)明計算機(jī)和計算器之前，使用對數(shù)意味著使用對數(shù)表，它必須手工建立