《偶圖的算法及應用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《偶圖的算法及應用（20頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、南京師范大學附屬中學 孫方成目錄匹配的概念偶圖的定義和判定偶圖的最大匹配偶圖的最小覆蓋問題偶圖的最佳匹配問題小結匹配的概念(1) ,GV GE GME GMMGMM定義1 設圖，而是的一個子集，如果中的任兩條邊均不鄰接，則稱是 的一個匹配。中的一條邊的兩個端點叫做在下是配對的。MvMvvM 若匹配中的某條邊與定點 關聯(lián)，則稱飽和頂點 ，并稱 是飽和的。匹配的概念(2)MGGRMMRRM 設是圖 的一個匹配，若 中存在一條基本路徑，路徑的邊是由屬于的匹配邊和不屬于的非匹配邊交替出現(xiàn)組成，則稱 為交替路。若 的兩個端點都是的非飽和點，則稱這條交替路為可增廣路。 ,GV GE GV GXYGME G

2、XXYMG 設圖，被分成兩個非空的互補頂點子集 和 ，若圖 的一個匹配能飽和 中的每個頂點，換言之， 中的全部頂點和 中的一個子集的頂點之間確定一個一一對應關系，則稱是圖 的一個完備匹配。偶圖的定義 12121212( ,)( ,;)GV EVVVEVVGV V EVVP VVV定義2 設圖，若能把 分成兩個集合 和，使得 中的每條邊的兩個端點，一個在 中，另一個在中，這樣的圖稱為偶圖，也叫二分圖，或是二部圖。偶圖也可表示為。 對于頂點集，用表示中所有和 相連的頂點的集合。1GVG2定義3 如果偶圖 的互補結點子集 中的每一結點都與V中的所有結點鄰接，則稱 為完全偶圖。偶圖的判定0,0GG定理

3、1 當且僅當無向圖 的每一個回路的次數(shù)均為偶數(shù)時， 才是一個偶圖。如果無回路，相當于任一回路的次數(shù)為視為偶數(shù)。偶圖的最大匹配 (1)(2) ,(3)(4) , (3),( )(2)GMXMMXMuSu TP STyP STyMyzMSSz TTyR u yMME R 從 中取一個初始匹配。若 中的頂皆為中邊的端點，止，即為完備匹配；否則，取 中不與中邊關聯(lián)的頂 ，記。若，止，無完備匹配，否則，取。若 是中邊的端點，設，令，轉；否則，取可增廣路徑，令，轉。Edmonds于1965年提出了解決偶圖的最大匹配的匈牙利算法：偶圖的最小覆蓋問題一般圖的最小覆蓋問題是一個已被證明的NPC問題。換一句話說，

4、一般圖的最小覆蓋問題，是沒有有效算法的圖論模型。所以，將一個實際問題抽象成最小覆蓋問題，是沒有任何意義和價值的。但是，如果問題可以抽象成偶圖的最小覆蓋問題，結局就不一樣了。由于偶圖的特殊性，偶圖的最小覆蓋問題存在多項式算法。最大匹配與最小覆蓋的關系在證明這個定理的過程中，要用到Hall婚姻定理婚姻定理： 1211GVVGVSVSP S 設 是一個偶圖，頂集劃分成 和， 中存在對于 的完備匹配的充要條件是，對于一切，都有。1931年Knig給出最大匹配與最小覆蓋的關系定理如下： *GMKMK 在偶圖 中，若是最大匹配，是最小覆蓋集，則。偶圖的最佳匹配問題121122124,;,.,.,0nnij

5、GV V EVx xxVy yyw x yMMW MW MMG定義是加權完全偶圖，權。如果有一完備匹配，對所有完備匹配，都有，則稱為偶圖的最佳匹配。由于引入了權，所以最佳匹配不能直接套用最大匹配算法進行求解。同時，由于對最佳匹配的定義是建立在完全加權偶圖的基礎上的，對于不完全圖，可以通過引入權為0（或是其他不影響最終結果的值），使得偶圖稱為完全偶圖，從而使用最佳匹配算法來解決。KM算法前的準備在介紹求最佳匹配的KM算法前，首先介紹一些相關的概念： 125:|,llll V GRxVyVl xl yw xyl vGExy xyE Gl xl yw xyEG 定義映射滿足，成立，則稱是偶圖 的可行

6、頂標；令稱以 為邊集的生成子圖為“相等子圖”，記做?？梢宰C明，Gl的完備匹配即為G的最佳匹配。 以此為基礎，1955年Kuhn，1957年Munkres給出修改頂標的方法，使新的相等子圖的最大匹配逐漸擴大，最后出現(xiàn)相等子圖的完備匹配。 這就是KM算法。KM算法 1,(1)(2) ,(3),(4),min,(4)lllllx S y TlllGMVMMGMuSu TP STP STl va vSal xl yw xyl vl va vTl vll GGP STyyMy 選定初始可行頂標 ，在上選取一個初始匹配。若 中的頂皆為中邊的端點，止，即為最佳匹配；否則，取中不與中邊關聯(lián)的頂 ，記。若轉；若

7、，取，其它。選中的一點 ，若 是中邊的端點，且 , (3),( )(2)lzMSSz TTyGMR u yMME R，則，轉；否則，取中可增廣路徑，令，轉。一個例題某公司有工作人員x1,x2,xn ，他們去做工作y1,y2,yn ，每個人都能做其中的幾項工作，并且對每一項工作都有一個固定的效率。問能否找到一種合適的工作分配方案，使得總的效率最高。要求一個人只能參與一項工作，同時一項工作也必須由一個人獨立完成。不要求所有的人都有工作。一個實例Y1Y2Y3Y4Y5X135541X222022X324410X401100X512133若工人x完全不能參與工作y，則w(x,y)=0流程(1)首先，選取

8、可行頂標l(v)如下： 123410,1,2,3,4,5;max 3,5,5,4,15,max 2,2,0,2,22,max 2,4,4,1,04,max 0,1,1,0,01,max 1,2,1,3,33l yil xl xl xl xl x構造Gl，并求其最大匹配：（其流程過長，此處略）流程(2)其最終得到的最大匹配如圖所示：1x5x4x3x2x1y2y3y4y5y圖中粗點劃線構成最大匹配。 流程(3)Gl中無完備匹配，故修改頂標。 443132,1234512345,min14,2,3,0,3;0,1,1,0,0lx S y Tux Sx x xTyyal xl yw xyxxxxxyy

9、yyy由于，所以修改后的頂標為：流程(4)根據(jù)新的頂標構造Gl ，并求其上的一個完全匹配如圖所示： 1x5x4x3x2x1y2y3y4y5y圖中粗點劃線給出了一個最佳匹配，其最大權為4241314。題目完成。 小結偶圖是一種特殊的圖，所以它不但具備了信息量豐富這個圖模型共有的優(yōu)點，同時它也具備了大量一般圖所不具備的內涵和算法優(yōu)勢。偶圖的結點分成兩個部分，這就是它和自然界、數(shù)學界的對應關系，或者說匹配關系有著深刻的聯(lián)系。因此，匹配的算法是所有偶圖算法的核心。如果能將實際問題，通過合理的抽象，變成兩種事物之間的矛盾，則這種問題就可以抽象成偶圖的模型。所以，偶圖的模型有著廣泛的應用。同時，偶圖的算法有著高效實用的特點，所以也使通過偶圖模型解決問題成為可能。綜上所述，我認為，偶圖是一種高效的，有著廣泛使用價值的模型。合理、有效的使用偶圖模型，將大大提高編程及解決現(xiàn)實生活中實際問題的能力。 謝謝！謝謝！