《算法設(shè)計(jì)與分析電子教案第6章分支限界法》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《算法設(shè)計(jì)與分析電子教案第6章分支限界法（41頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,第六章 分支限界法,1,第六章 分支限界法,本章主要知識(shí)點(diǎn),6.1 分支限界法的基本思想,6.2 單源最短路徑問題,6.3 裝載問題,6.4 布線問題,6.5 01背包問題,6.6 最大團(tuán)問題,6.7 旅行售貨員問題,6.8 電路板排列問題,6.9 批處理作業(yè)調(diào)度,2,6.1分支限界法的基本思想,1.分支限界法與回溯法的不同,（1）求解目標(biāo)：,回溯法的求解目標(biāo)是找出解空間樹中滿足約束條件的所有解，而分支限界法的求解目標(biāo)則是找出滿足約束條件的一個(gè)解，或是在滿足約束條件的解中找出在某種意義下的最優(yōu)解。,（2）搜

2、索方式的不同：,回溯法以深度優(yōu)先的方式搜索解空間樹，而分支限界法則以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)優(yōu)先的方式搜索解空間樹。,3,6.1分支限界法的基本思想,2.分支限界法基本思想,分支限界法常以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)（最大效益）優(yōu)先的方式搜索問題的解空間樹。,在分支限界法中，每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)只有一次機(jī)會(huì)成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)?；罱Y(jié)點(diǎn)一旦成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點(diǎn)。在這些兒子結(jié)點(diǎn)中，導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點(diǎn)被舍棄，其余兒子結(jié)點(diǎn)被加入活結(jié)點(diǎn)表中。,此后，從活結(jié)點(diǎn)表中取下一結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并重復(fù)上述結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展過程。這個(gè)過程一直持續(xù)到找到所需的解或活結(jié)點(diǎn)表為空時(shí)為止。,4,6.1分支限界法的基本思

3、想,3.常見的兩種分支限界法,（1）隊(duì)列式(,FIFO),分支限界法,按照隊(duì)列先進(jìn)先出（,FIFO）,原則選取下一個(gè)節(jié)點(diǎn)為擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。,（2）優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法,按照優(yōu)先隊(duì)列中規(guī)定的優(yōu)先級(jí)選取優(yōu)先級(jí)最高的節(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。,5,6.2單源最短路徑問題,1.問題描述,下面以一個(gè)例子來說明單源最短路徑問題：,在下圖所給的有向圖,G,中，每一邊都有一個(gè)非負(fù)邊權(quán)。要求圖,G,的從源頂點(diǎn),s,到目標(biāo)頂點(diǎn),t,之間的最短路徑。,6,6.2單源最短路徑問題,下圖是用優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法解有向圖,G,的單源最短路徑問題產(chǎn)生的解空間樹。其中，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)旁邊的數(shù)字表示該結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。,7,6.2單源最

4、短路徑問題,2.算法思想,解單源最短路徑問題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用一極小堆來存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表。其優(yōu)先級(jí)是結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。,算法從圖,G,的源頂點(diǎn),s,和空優(yōu)先隊(duì)列開始。結(jié)點(diǎn),s,被擴(kuò)展后，它的兒子結(jié)點(diǎn)被依次插入堆中。此后，算法從堆中取出具有最小當(dāng)前路長(zhǎng)的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并依次檢查與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰的所有頂點(diǎn)。如果從當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn),i,到頂點(diǎn),j,有邊可達(dá)，且從源出發(fā)，途經(jīng)頂點(diǎn),i,再到頂點(diǎn),j,的所相應(yīng)的路徑的長(zhǎng)度小于當(dāng)前最優(yōu)路徑長(zhǎng)度，則將該頂點(diǎn)作為活結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。這個(gè)結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展過程一直繼續(xù)到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列為空時(shí)為止。,8,6.2單源最短路徑問題,3.剪枝策略,在算法擴(kuò)展

5、結(jié)點(diǎn)的過程中，一旦發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)點(diǎn)的下界不小于當(dāng)前找到的最短路長(zhǎng)，則算法剪去以該結(jié)點(diǎn)為根的子樹。,在算法中，利用結(jié)點(diǎn)間的控制關(guān)系進(jìn)行剪枝。從源頂點(diǎn),s,出發(fā)，2條不同路徑到達(dá)圖,G,的同一頂點(diǎn)。由于兩條路徑的路長(zhǎng)不同，因此可以將路長(zhǎng)長(zhǎng)的路徑所對(duì)應(yīng)的樹中的結(jié)點(diǎn)為根的子樹剪去。,9,6.2單源最短路徑問題,while(true),/,搜索問題的解空間,for(int j=1;j=n;j+),if(aenode.ij Float.MAX_VALUE&enode.length+aenode.ij distj),/,頂點(diǎn),i,到頂點(diǎn),j,可達(dá)，且滿足控制約束,distj=enode.length+aenod

6、e.ij;,pj=enode.i;,HeapNode node=new HeapNode(j,distj);,heap.put(node);,/,加入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列,if(heap.isEmpty()break;,else enode=(HeapNode)heap.removeMin();,頂點(diǎn),I,和,j,間有邊，且此路徑長(zhǎng)小于原先從原點(diǎn)到,j,的路徑長(zhǎng),10,6.3 裝載問題,1.問題描述,有一批共個(gè)集裝箱要裝上2艘載重量分別為,C1,和,C2,的輪船，其中集,裝箱,i,的重量為,Wi，,且,裝載問題要求確定是否有一個(gè)合理的裝載方案可將這個(gè)集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。,

7、容易證明：如果一個(gè)給定裝載問題有解，則采用下面的策略可得到最優(yōu)裝載方案。,(1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；,(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。,11,6.3 裝載問題,2.隊(duì)列式分支限界法,在算法的,while,循環(huán)中，首先檢測(cè)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)是否為可行結(jié)點(diǎn)。如果是則將其加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。然后將其右兒子結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中(右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn))。2個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)都產(chǎn)生后，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)被舍棄。,活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中的隊(duì)首元素被取出作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，由于隊(duì)列中每一層結(jié)點(diǎn)之后都有一個(gè)尾部標(biāo)記-1，故在取隊(duì)首元素時(shí)，活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列一定不空。當(dāng)取出的元素是-1時(shí)，再判斷當(dāng)前隊(duì)列是否為空。如果隊(duì)列非

8、空，則將尾部標(biāo)記-1加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列，算法開始處理下一層的活結(jié)點(diǎn)。,12,6.3 裝載問題,2.隊(duì)列式分支限界法,while(true),if(ew+wi=c)enQueue(ew+wi,i);,/,檢查左兒子結(jié)點(diǎn),enQueue(ew,i);,/,右兒子結(jié)點(diǎn)總是可行的,ew=(Integer)queue.remove().intValue();,/,取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn),if(ew=-1),if(queue.isEmpty()return bestw;,queue.put(new Integer(-1);,/,同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志,ew=(Integer)queue.remove().intValue(

9、);,/,取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn),i+;,/,進(jìn)入下一層,13,6.3 裝載問題,3.算法的改進(jìn),節(jié)點(diǎn)的左子樹表示將此集裝箱裝上船，右子樹表示不將此集裝箱裝上船。設(shè),bestw,是當(dāng)前最優(yōu)解；,ew,是當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的重量；,r,是剩余集裝箱的重量。則當(dāng),ew+r,bestw,時(shí)，可將其右子樹剪去，因?yàn)榇藭r(shí)若要船裝最多集裝箱，就應(yīng)該把此箱裝上船。,另外，為了確保右子樹成功剪枝，應(yīng)該在算法每一次進(jìn)入左子樹的時(shí)候更新,bestw,的值。,14,6.3 裝載問題,3.算法的改進(jìn),/,檢查左兒子結(jié)點(diǎn),int wt=ew+wi;,if(wt bestw)bestw=wt;,/,加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列,if(i be

10、stw&i 0;j-),bestxj=(e.leftChild)?1:0;,e=e.parent;,17,6.3 裝載問題,5.優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法,解裝載問題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用最大優(yōu)先隊(duì)列存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表。活結(jié)點(diǎn),x,在優(yōu)先隊(duì)列中的優(yōu)先級(jí)定義為從根結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn),x,的路徑所相應(yīng)的載重量再加上剩余集裝箱的重量之和。,優(yōu)先隊(duì)列中優(yōu)先級(jí)最大的活結(jié)點(diǎn)成為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。以結(jié)點(diǎn),x,為根的子樹中所有結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的路徑的載重量不超過它的優(yōu)先級(jí)。子集樹中葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量與其優(yōu)先級(jí)相同。,在優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，一旦有一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，則可以斷言該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的解即為最優(yōu)解。此時(shí)可終止算法。,1

11、8,6.4 布線問題,算法的思想,解此問題的隊(duì)列式分支限界法從起始位置,a,開始將它作為第一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。與該擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰并且可達(dá)的方格成為可行結(jié)點(diǎn)被加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中，并且將這些方格標(biāo)記為1，即從起始方格,a,到這些方格的距離為1。,接著，算法從活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中取出隊(duì)首結(jié)點(diǎn)作為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并將與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰且未標(biāo)記過的方格標(biāo)記為,2,，并存入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列。這個(gè)過程一直繼續(xù)到算法搜索到目標(biāo)方格,b,或活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列為空時(shí)為止。即加入剪枝的廣度優(yōu)先搜索。,19,6.4 布線問題,Position offset=new Position 4;,offset0=new Position(0,1);,/,

12、右,offset1=new Position(1,0);,/,下,offset2=new Position(0,-1);,/,左,offset3=new Position(-1,0);,/,上,定義移動(dòng)方向的相對(duì)位移,for(int i=0;i=size+1;i+),grid0i=gridsize+1i=1;,/,頂部和底部,gridi0=gridisize+1=1;,/,左翼和右翼,設(shè)置邊界的圍墻,20,6.4 布線問題,for(int i=0;i numOfNbrs;i+),nbr.row=here.row+offseti.row;,nbr.col=here.col+offseti.col

13、;,if(gridnbr.rownbr.col=0),/,該方格未標(biāo)記,gridnbr.rownbr.col=gridhere.rowhere.col+1;,if(nbr.row=finish.row),q.put(new Position(nbr.row,nbr.col);,找到目標(biāo)位置后，可以通過回溯方法找到這條最短路徑。,21,6.5 0-1背包問題,算法的思想,首先，要對(duì)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，將各物品依其單位重量?jī)r(jià)值從大到小進(jìn)行排列。,在下面描述的優(yōu)先隊(duì)列分支限界法中，節(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)由已裝袋的物品價(jià)值加上剩下的最大單位重量?jī)r(jià)值的物品裝滿剩余容量的價(jià)值和。,算法首先檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)

14、點(diǎn)的可行性。如果該左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，則將它加入到子集樹和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn)，僅當(dāng)右兒子結(jié)點(diǎn)滿足上界約束時(shí)才將它加入子集樹和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。當(dāng)擴(kuò)展到葉節(jié)點(diǎn)時(shí)為問題的最優(yōu)值。,22,6.5 0-1背包問題,上界函數(shù),while(i=n&wi=cleft),/n,表示物品總數(shù)，,cleft,為剩余空間,cleft-=wi;,/wi,表示,i,所占空間,b+=pi;,/p,i,表示,i,的價(jià)值,i+;,if(i=n)b+=pi/wi*cleft;,/,裝填剩余容量裝滿背包,return b;,/b,為上界函數(shù),23,6.5 0-1背包問題,while(i!=n

15、+1),/,非葉結(jié)點(diǎn),double wt=cw+wi;,if(wt bestp)bestp=cp+pi;,addLiveNode(up,cp+pi,cw+wi,i+1,enode,true);,up=bound(i+1);,if(up=bestp),/,檢查右兒子節(jié)點(diǎn),addLiveNode(up,cp,cw,i+1,enode,false);,/,取下一個(gè)擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)（略）,分支限界搜索過程,24,6.6 最大團(tuán)問題,問題描述,給定無向圖,G=(V,，,E),。,如果,U,V,，,且對(duì)任意,u,，,v,U,有,(,u,，,v),E,，,則稱,U,是,G,的完全子圖。,G,的完全子圖,U,是,G,

16、的團(tuán)當(dāng)且僅當(dāng),U,不包含在,G,的更大的完全子圖中。,G,的最大團(tuán)是指,G,中所含頂點(diǎn)數(shù)最多的團(tuán)。,下圖,G,中，子集,1,，,2,是,G,的大小為,2,的完全子圖。這個(gè)完全子圖不是團(tuán)，因?yàn)樗?G,的更大的完全子圖,1,，,2,，,5,包含。,1,，,2,，,5,是,G,的最大團(tuán)。,1,，,4,，,5,和,2,，,3,，,5,也是,G,的最大團(tuán)。,25,6.6 最大團(tuán)問題,2.上界函數(shù),用變量,cliqueSize,表示與該結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的團(tuán)的頂點(diǎn)數(shù)；,level,表示結(jié)點(diǎn)在子集空間樹中所處的層次；用,cliqueSize+n-level+1,作為頂點(diǎn)數(shù)上界,upperSize,的值。,在此優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，,upperSize,實(shí)際上也是優(yōu)先隊(duì)列中元素的優(yōu)先級(jí)。算法總是從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中抽取具有最大,upperSize,值的元素作為下一個(gè)擴(kuò)展元素。,26,6.6 最大團(tuán)問題,3.算法思想,子集樹的根結(jié)點(diǎn)是初始擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，對(duì)于這個(gè)特殊的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，其,cliqueSize,的值為0。,算法在擴(kuò)展內(nèi)部結(jié)點(diǎn)時(shí)，首先考察其左兒子結(jié)點(diǎn)。在左兒子結(jié)點(diǎn)處，將頂點(diǎn),i,加入到當(dāng)前團(tuán)中，并檢查該頂點(diǎn)與當(dāng)