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1、二 、 典 型 例 題一 、 主 要 內(nèi) 容 第 三 章 洛 必 達(dá) 法 則Rolle定 理Lagrange中 值 定 理 常 用 的泰 勒 公 式 型00 ,1,0 型 型0型00 型Cauchy中 值 定 理Taylor中 值 定 理 xxF )( )()( bfaf 0n gfgf 1fg fggf 11 11 取 對(duì) 數(shù)令 gfy 單 調(diào) 性 ,極 值 與 最 值 ,凹 凸 性 ,拐 點(diǎn) ,函 數(shù)圖 形 的 描 繪 ;曲 率 .導(dǎo) 數(shù) 的 應(yīng) 用 例 1 .65,6sinln 上 的 正 確 性在驗(yàn) 證 羅 爾 定 理 對(duì) xy 解 ),1,0(,22: kkxkD .65,6 上 連

2、 續(xù)且 在 內(nèi) 處 處 存 在在又 )65,6(cot xy )65()6( ff 并 且 2ln .65,6sinln 上 滿 足 羅 爾 定 理 的 條 件在 xy ,0cot xy由 內(nèi) 顯 然 有 解在 ) 65,6( .2x,2 取 .0)( f則這 就 驗(yàn) 證 了 命 題 的 正 確 性 . 例 2. 設(shè) f (x) = 3x2 + 2x + 5， 求 f (x) 在 a, b上 滿 足拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 值 .解 ： f (x)為 多 項(xiàng) 式 ， 在 a, b上 滿 足 拉 格 朗 日 中 值定 理 條 件 , 故 )(26()523()523( 22 abaab

3、b 由 此 解 得 ,2ab (即 此 時(shí) 為 區(qū) 間 a, b的 中 點(diǎn) ) 例 3. 設(shè) a0, a1, , an 滿 足 ,011121 110 nn ananaa 證 明 方 程 a0 + a1x + an1 xn1 + an xn = 0 在 (0, 1)內(nèi) 至 少 有 一 實(shí) 根證 : 令 11210 12)( nnnn xnaxnaxaxaxf 則 ， f (x)C(0, 1)， 在 (0, 1)內(nèi) 可 導(dǎo) 。又 f (0)=0, 012)1( 110 nanaaaf nn即 f (0)=f (1) 故 f (x)滿 足 Rolle定 理 條 件 .由 Rolle定 理 ， 命

4、題 獲 證 . 例 4. 證 明 ： 若 f (x)在 (, +)內(nèi) 滿 足 關(guān) 系 式 f (x) = f (x)， f (0) = 1， 則 f (x) = ex.證 ： 要 證 f (x) = e x, x(, +)， ( ) 1, ( , ),xf x xe 令 ).,(,)()( xe xfx x (轉(zhuǎn) 化 證 明 (x) = 0),( )( xCx又 f (0)=1, 故 11)0()0( 0 Cef從 而 ),( ,)( xexf x x xxx e exfexfe xfx 2 )()()()( ),( ,0)()( xe xfxf x 例 5. 證 明 若 f (x)在 a,

5、b上 可 微 ， 則 至 少 存 在 一 點(diǎn) )( )()()( ffab aafbbf (a, b), 使分 析 : 要 證 明 )()()()( abffaafbbf 與 拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 式 子 比 較 可 知 ， 可 作輔 助 函 數(shù) ., ),( )( baxxfxxF 余 下 的 由 學(xué) 生 自 己 完 成 . 例 6 證 明 ： 當(dāng) 0 a 1時(shí) ， e x e x.證 (分 析 )： 即 要 證 ： e x1 x ( x 1),或 x 1 ln x ( x 1),比 較 f (b) f (a) = f ()(b a), 在 1, x中 ， 運(yùn) 用ln1= 0

6、就 有 x 1 lnx ln1. 但 是 沒 有 出 現(xiàn) 1|)(ln)( xxf 注 意 ， 我 們 是 證 不 等 式 ， 正 好 要 利 用 | f ( ) | M來 引 入 不 等 號(hào) .由 1 x ， 得111 x )1( ,1)1(11lnlnln xxxxx 因 此 ， 證 明 該 不 等 式 時(shí) ， 可 以 令.,1 ,ln)( xtttf 證 明 的 過 程 由 學(xué) 生 自 己 完 成 . 例 7. 證 明 ： 若 f (x)在 (, +)內(nèi) 滿 足 關(guān) 系 式 f (x) = f (x)， f (0) =1， 則 f (x) = e x.證 ： 要 證 f (x) = e

7、x, x(, +)， 即 要 證 ,1)( xexf令 ).,(,)()( xexfx x (問 題 轉(zhuǎn) 化 為 證 明 (x)=0) ),( )( xCx 又 f (0)=1, 故11)0()0( 0 Cef 從 而 ),( ,)( xexf xx xxx e exfexfe xfx 2 )()()()( ),( ,0)()( xe xfxf x 例 8. 證 明 若 f (x)在 a, b上 可 微 ， 則 至 少 存 在 一 點(diǎn))( )()()( ffab aafbbf (a, b), 使證 (分 析 ): 要 證 明 )()()()( abffaafbbf 與 拉 格 朗 日 中 值

8、定 理 的 式 子 比 較 可 知 ， 可 作輔 助 函 數(shù) ., ),( )( baxxfxxF 余 下 的 由 學(xué) 生 自 己 完 成 . 例 9. 設(shè) f (x)=3x2+2x+5， 求 f (x)在 a, b上 滿 足 拉格 朗 日 中 值 定 理 的 值 .解 ： f (x)為 多 項(xiàng) 式 ， 在 a, b上 滿 足 拉 格 朗 日 中 值定 理 條 件 , 故 )(26()523()523( 22 abaabb 由 此 解 得 ,2ab (即 此 時(shí) 為 區(qū) 間 a, b的 中 點(diǎn) ) ).0()1(2)(),1,0( :,)1,0(,1,0)( fffxf 使至 少 存 在 一

9、點(diǎn) 證 明內(nèi) 可 導(dǎo)在上 連 續(xù)在設(shè) 函 數(shù)例 10證 分 析 : 結(jié) 論 可 變 形 為 2 )(01 )0()1( fff .)( )(2 xx xf ,)( 2xxg 設(shè) ,1,0)(),( 條 件上 滿 足 柯 西 中 值 定 理 的在則 xgxf 有內(nèi) 至 少 存 在 一 點(diǎn)在 ,)1,0( 2 )(01 )0()1( fff ).0()1(2)( fff 即 2. 設(shè),0)( Cxf 且在),0( 內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存在一點(diǎn),),0( 使.cot)()( ff 提示:由結(jié)論可知, 只需證0cos)(sin)( ff即 0sin)( xxxf驗(yàn)證)(xF在,0 上滿足羅爾定理?xiàng)l件.設(shè)

10、xxfxF sin)()( 3. 若)(xf可導(dǎo), 試證在其兩個(gè)零點(diǎn)間一定有)()( xfxf 的零點(diǎn). 提示:設(shè),0)()( 2121 xxxfxf 欲證: ,),( 21 xx使0)()( ff只要證0)()( ffe e亦即0)( xx xfe作輔助函數(shù),)()( xfexF x驗(yàn)證)(xF在, 21 xx上滿足羅爾定理?xiàng)l件. 4. 思考: 在 0,0 0,sin)( 12 xxxxf x,0 x ),0(,)0)()0()( xxffxf 即xx 12sin 1sin2( ,)cos1 x ),0( xxx 111 sinsin2cos 當(dāng),00 x時(shí).0cos1問是否可由此得出 ?0

11、coslim 10 xx不能 !因?yàn)?(x 是依賴于 x 的一個(gè)特殊的函數(shù).因此由上式得表示 x 從右側(cè)以任意方式趨于 0 .0 x應(yīng)用拉格朗日中值定理得上對(duì)函數(shù) 二 、 用 洛 必 達(dá) 法 則 求 下 列 極 限 ： 1、 22 )2( sinlnlim xxx ； 2、 xxx arctan )11ln(lim ； 3、 xxx 2cotlim0 ； 4、 )1112(lim 21 xxx ； 5、 xx xsin0lim ； 6、 xx x tan0 )1(lim ； 7、 xx x)arctan2(lim . 三 、 討 論 函 數(shù) 0, 0,)1()( 21 11 xe xexxf

12、xx 當(dāng)當(dāng) , 在 處點(diǎn) 0 x 的 連 續(xù) 性 . 一 、 1、 00,0,1,0 ； 2、 1； 3、 1. 二 、 1、 81； 2、 1； 3、 21； 4、 21； 5、 1； 6、 1； 7、 2e . 三 、 連 續(xù) . )(!3!21 332 xoxxxex )(!3sin 33 xoxxx 30 )1(sinlim x xxxexx 3 333320 )1()(!3)(!3!21lim x xxxoxxxoxxxx 3 3330 )(!3!2lim x xoxxx .31 3 )(1sinlim x xxxe x0 x 另 例 ： 求 一 、 當(dāng) 10 x 時(shí) ， 求 函 數(shù)

13、 xxf 1)( 的 n 階 泰 勒 公 式 . 二 、 求 函 數(shù) xxexf )( 的 n 階 麥 克 勞 林 公 式 . 三 、 驗(yàn) 證 210 x 時(shí) ， 按 公 式 621 32 xxxe x 計(jì) 算xe 的 近 似 值 ， 可 產(chǎn) 生 的 誤 差 小 于 0.01， 并 求 e的 近 似 值 ， 使 誤 差 小 于 0.01 . 四 、 應(yīng) 用 三 階 泰 勒 公 式 求 3 30的 近 似 值 ， 并 估 計(jì) 誤 差 . 五 、 利 用 泰 勒 公 式 求 極 限 ： 1、 xex xx 4 20 sincoslim 2 ； 2、 )11ln(lim 2 xxxx . 一 、 )

14、1()1()1(11 2 nxxxx )1,0()1(1 )1()1( 211 nnn xx . 二 、 )!1(!232 nxxxxxe nx )10(,)1()!1( 1 1 nx xexnn . 三 、 645.1e . 四 、 533 1088.1,10724.330 R . 五 、 1、 121 . 2、 21. 二 、 確 定 下 列 函 數(shù) 的 單 調(diào) 區(qū) 間 ：1、 xxxy 694 10 23 ； 2、 3 2)(2( xaaxy ( 0a )；3、 xxy 2sin . 三 、 證 明 下 列 不 等 式 ：1、 當(dāng) 0 x 時(shí) ， 22 1)1ln(1 xxxx ； 2、

15、 當(dāng) 4x 時(shí) ， 22 xx ；3、 若 0 x ， 則 361sin xxx . 四 、 方 程 )0(ln aaxx 有 幾 個(gè) 實(shí) 根 . 五 、 設(shè) )(xf 在 ba, 上 連 續(xù) ， 在 ( ba, )內(nèi) )(xf ,試 證 明 ： 對(duì) 于 ba, 上 任 意 兩 1x ， 2x 有 2 )()()2( 2121 xfxfxxf 提 示 ： 方 法 （ 1） 0)( xf ， )(xf 單 增 ； 方 法 （ 2） 0)( xf ， 利 用 泰 勒 公 式 一 、 1、 ),3,1,( 單 調(diào) 增 加 , 3,1 單 調(diào) 減 少 ； 2、 增 加 , ),1,1,( 3、 1,(

16、 , ),1 ； 1,0(,1,(;1,0(),0,1 . 二 、 1、 在 ),1,21,0(),0,( 內(nèi) 單 調(diào) 減 少 , 在 1,21 上 單 調(diào) 增 加 ； 2、 在 ),32,( aa 內(nèi) 單 調(diào) 增 加 , 在 ,32 aa 上 單 調(diào) 減 少 ； 3、 在 32,2 kk 上 單 調(diào) 增 加 , 在 22,32 kk 上 單 調(diào) 減 少 , ),2,1,0( k .四 、 (1) ea 1 時(shí) 沒 有 實(shí) 根 ； (2) ea 10 時(shí) 有 兩 個(gè) 實(shí) 根 ；(3) ea 1 時(shí) 只 有 ex 一 個(gè) 實(shí) 根 . 一 、 選 擇 題 ： 1、 一 元 函 數(shù) 微 分 學(xué) 的

17、三 個(gè) 中 值 定 理 的 結(jié) 論 都 有 一 個(gè)共 同 點(diǎn) ， 即 （ ） （ A） 它 們 都 給 出 了 點(diǎn) 的 求 法 . （ B） 它 們 都 肯 定 了 點(diǎn) 一 定 存 在 ， 且 給 出 了 求 的方 法 . （ C） 它 們 都 先 肯 定 了 點(diǎn) 一 定 存 在 ， 而 且 如 果 滿 足 定理 條 件 ， 就 都 可 以 用 定 理 給 出 的 公 式 計(jì) 算 的 值 . （ D） 它 們 只 肯 定 了 的 存 在 ， 卻 沒 有 說 出 的 值 是 什 么 ， 也 沒 有 給 出 求 的 方 法 . 2、 若 )(xf 在 ),( ba 可 導(dǎo) 且 )()( bfaf

18、,則 （ ）（ A） 至 少 存 在 一 點(diǎn) ),( ba ， 使 0)( f ； （ B） 一 定 不 存 在 點(diǎn) ),( ba ， 使 0)( f ；（ C） 恰 存 在 一 點(diǎn) ),( ba ， 使 0)( f ； （ D） 對(duì) 任 意 的 ),( ba ， 不 一 定 能 使 0)( f . 3 已 知 )(xf 在 , ba 可 導(dǎo) ， 且 方 程 f(x)=0在 ),( ba 有 兩 個(gè) 不 同 的 根 與 ， 那 么 在 ),( ba （ ） 0)( xf . （ A） 必 有 ；（ B） 可 能 有 ； （ C） 沒 有 ；（ D） 無 法 確 定 . 4、 如 果 )(xf

19、在 , ba 連 續(xù) ， 在 ),( ba 可 導(dǎo) ， c 為 介 于 ba, 之 間 的 任 一 點(diǎn) ， 那 么 在 ),( ba （ ） 找 到 兩 點(diǎn) 12 , xx ， 使 )()()()( 1212 cfxxxfxf 成 立 . （ A） 必 能 ； （ B） 可 能 ； （ C） 不 能 ； （ D） 無 法 確 定 能 . 5、 若 )(xf 在 , ba 上 連 續(xù) ， 在 ),( ba 內(nèi) 可 導(dǎo) ， 且 ),( bax 時(shí) ， 0)( xf ， 又 0)( af ,則 （ ） .（ A） )(xf 在 , ba 上 單 調(diào) 增 加 ， 且 0)( bf ； （ B） )(x

20、f 在 , ba 上 單 調(diào) 增 加 ， 且 0)( bf ；（ C） )(xf 在 , ba 上 單 調(diào) 減 少 ， 且 0)( bf ； （ D） )(xf 在 , ba 上 單 調(diào) 增 加 ， 但 )(bf 的 正 負(fù) 號(hào) 無 法 確 定 . 6、 0)( 0 xf 是 可 導(dǎo) 函 數(shù) )(xf 在 0 x 點(diǎn)處 有 極 值 的 （ ） . （ A） 充 分 條 件 ；（ B） 必 要 條 件 （ C） 充 要 條 件 ；（ D） 既 非 必 要 又 非 充 分 條 件 . 7、 若 連 續(xù) 函 數(shù) 在 閉 區(qū) 間 上 有 唯 一 的 極 大 值 和 極 小 值 ， 則 （ ） . （

21、A） 極 大 值 一 定 是 最 大 值 ， 且 極 小 值 一 定 是 最 小 值 ； （ B） 極 大 值 一 定 是 最 大 值 ， 或 極 小 值 一 定 是 最 小 值 ； （ C） 極 大 值 不 一 定 是 最 大 值 ， 極 小 值 也 不 一 定 是 最 小 值 ； （ D） 極 大 值 必 大 于 極 小 值 . 8、 若 在 ),( ba 內(nèi) ， 函 數(shù) )(xf 的 一 階 導(dǎo) 數(shù) 0)( xf ， 二 階 導(dǎo) 數(shù) 0)( xf ,則 函 數(shù) )(xf 在 此 區(qū) 間 內(nèi) ( ). （ A） 單 調(diào) 減 少 ， 曲 線 是 凹 的 ；（ B） 單 調(diào) 減 少 ， 曲 線

22、 是 凸 的 ； （ C） 單 調(diào) 增 加 ， 曲 線 是 凹 的 ；（ D） 單 調(diào) 增 加 ， 曲 線 是 凸 的 . 9、 設(shè) 0)(lim)(lim xFxf axax ， 且 在 點(diǎn) a 的 某 鄰 域 中 （ 點(diǎn) a 可 除 外 ） ， )(xf 及 )(xF 都 存 在 ， 且 0)( xF ,則 )( )(lim xF xfax 存 在 是 )( )(lim xF xfax 存 在 的 （ ） . （ A） 充 分 條 件 ； （ B） 必 要 條 件 ； （ C） 充 分 必 要 條 件 ； （ D） 既 非 充 分 也 非 必 要 條 件 . 10、 xxx cos1 1c

23、oshlim0 （ ） . （ A） 0； （ B） 21 ； （ C） 1； （ D） 21.二 、 求 極 限 ： 1、 22lim ax axaxax （ 0a ） ； 2、 310 )sin1 tan1(lim xx xx ； 3、 )11ln(lim 2 xxxx ； 4、 xxx cos1sinlim0 ； 三 、 一 個(gè) 半 徑 為 R的 球 內(nèi) 有 一 個(gè) 內(nèi) 接 正 圓 錐 體 ， 問 圓 錐 體 的 高 和 底 半 徑 成 何 比 例 時(shí) ， 圓 錐 體 的 體 積 最 大 ？ 四 、 若 0 x ,試 證 xxxx )1ln(1 . 五 、 設(shè) dcxbxaxxf 23)

24、( 有 拐 點(diǎn) （ 1， 2） ， 并 在 該 點(diǎn) 有 水 平 切 線 ， )(xf 交 x軸 于 點(diǎn) （ 3， 0） ， 求 )(xf . 六 、 確 定 cba , 的 值 ， 使 拋 物 線 cbxaxy 2 與 正 弦 曲 線 在 點(diǎn) )1,2( 相 切 ， 并 有 相 同 的 曲 率 . 七 、 繪 出 函 數(shù) )1ln()( 2 xxf 的 圖 形 . 八 、 設(shè) )(xf 在 1,0 上 連 續(xù) ， 在 (0,1)內(nèi) 可 導(dǎo) ， 且1)1(,0)0( ff ,試 證 ： 對(duì) 任 意 給 定 的 正 數(shù) ba, 在)1,0( 內(nèi) 存 在 不 同 的 , ， 使 baf bf a )

25、()( . 一 、 1、 D； 2、 D； 3、 A； 4、 B； 5、 D； 6、 B； 7、 C； 8、 D； 9、 B； 10、 C. 二 、 1、 a21 ； 2、 21e ； 3、 21； 4、 不 存 在 .三 、 1:2 . 五 、 49434341)( 23 xxxxf . 六 、 81221 22 xxy . 七 、 xy1 1o2ln 1,3 10,)( 21 x xxxf不 滿 足 在 閉 區(qū) 間 上 連 續(xù) 的 條 件 ；,1)(2 baxxxf 且 0ab不 滿 足 在 開 區(qū) 間 內(nèi) 可 微 的 條 件 ；以 上 兩 個(gè) 都 可 說 明 問 題 . 試 舉 例 說

26、明 拉 格 朗 日中 值 定 理 的 條 件 缺 一 不 可 .思 考 題 一 、 填 空 題 ： 1、 函 數(shù) 4)( xxf 在 區(qū) 間 1,2上 滿 足 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ， 則 =_. 2、 設(shè) )4)(3)(2)(1()( xxxxxf ， 方 程0)( xf 有 _個(gè) 根 ， 它 們 分 別 在 區(qū) 間 _上 . 3、 羅 爾 定 理 與 拉 格 朗 日 定 理 之 間 的 關(guān) 系 是 _. 4、 微 分 中 值 定 理 精 確 地 表 達(dá) 函 數(shù) 在 一 個(gè) 區(qū) 間 上 的 _與 函 數(shù) 在 這 區(qū) 間 內(nèi) 某 點(diǎn) 處 的 _之 間 的 關(guān) 系 . 5、 如 果 函

27、 數(shù) )(xf 在 區(qū) 間 I上 的 導(dǎo) 數(shù) _， 那 么 )(xf 在 區(qū) 間 I上 是 一 個(gè) 常 數(shù) . 二 、 試 證 明 對(duì) 函 數(shù) rqxpxy 2 應(yīng) 用 拉 氏 中 值 定 理 時(shí) 所 求 得 的 點(diǎn) 總 是 位 于 區(qū) 間 的 正 中 間 . 三 、 證 明 等 式 21arctan1arcsin 22 xxx )1,0( x . 四 、 設(shè) 0 ba ， 1n ， 證 明 )()( 11 banababanb nnnn . 五 、 證 明 下 列 不 等 式 ： 1、 baba arctanarctan ； 2、 時(shí)當(dāng) 1x ， exe x . 六 、 設(shè) 函 數(shù) )(xf

28、y 在 0 x 的 某 鄰 域 內(nèi) 且 有 n階 導(dǎo) 數(shù) ， 且 )0()0()0( )1( nfff 試 用 柯 西 中 值 定 理 證 明 ： ! )()( )( n xfxxf nn ， （ 10 ） . 七 、 設(shè) )(xf 在 ba, 內(nèi) 上 連 續(xù) ， 在 ( ba, )內(nèi) 可 導(dǎo) ， 若 ba 0 ,則 在 ( ba, )內(nèi) 存 在 一 點(diǎn) ， 使 )()()()( baffabfbaf . 一 、 1、 3 415；2、 3,(1,2),(2,3),(3,4)； 3、 前 者 是 后 者 的 特 殊 情 形 ,加 )()( bfaf 即 可 ；4、 增 量 ,導(dǎo) 數(shù) ； 5、

29、恒 為 零 . )(!3!21 332 xoxxxex )(!3sin 33 xoxxx 30 )1(sinlim x xxxexx 3 333320 )1()(!3)(!3!21lim x xxxoxxxoxxxx 3 3330 )(!3!2lim x xoxxx .31思 考 題利 用 泰 勒 公 式 求 極 限 30 )1(sinlim x xxxexx 五 、 利 用 泰 勒 公 式 求 極 限 ： 1、 xex xx 4 20 sincoslim 2 ； 2、 )11ln(lim 2 xxxx . 一 、 )1()1()1(11 2 nxxxx )1,0()1(1 )1()1( 21

30、1 nnn xx . 二 、 )!1(!232 nxxxxxe nx )10(,)1()!1( 1 1 nx xexnn . 三 、 645.1e . 四 、 533 1088.1,10724.330 R . 五 、 1、 121 . 2、 21. 一 、 填 空 題 ：1、 極 值 反 映 的 是 函 數(shù) 的 _性 質(zhì) . 2、 若 函 數(shù) )(xfy 在 0 xx 可 導(dǎo) ， 則 它 在 點(diǎn) 0 x 處 到 得 極 值 的 必 要 條 件 中 為 _. 3、 函 數(shù) 32)1(2 xy 的 極 值 點(diǎn) 為 _ ；31)1(23 xy 的 極 值 為 _. 4、 已 知 函 數(shù) 0,1 0,

31、)( 3 xx xxxf x 當(dāng) _x 時(shí) ，為 極_y 小 值 ； 當(dāng) 時(shí)_x ，為 極_y 大 值 . 二 、 求 下 列 函 數(shù) 的 極 值 ： 1、 xey x cos ； 2、 xxy 1 ； 3、 方 程 02 ye yx 所 確 定 的 函 數(shù) )(xfy ； 4、 0,0 0,2 1x xey x . 三 、 證 明 題 ： 1、 如 果 dcxbxaxy 23 滿 足 條 032 acb ， 則 函 數(shù) 無 極 值 . 2、 設(shè) )(xf 是 有 連 續(xù) 的 二 階 導(dǎo) 數(shù) 的 偶 函 數(shù) 0)( xf ， 則 0 x 為 )(xf 的 極 值 點(diǎn) . 一 、 1、 局 部 ； 2、 0)( 0 xf ； 3、 (1,2),無 ； 4、 1,0,)1(,1 3eee ; 二 、 1、 極 大 值 keky 2422)24( ,極 小 值 ),2,1,0(22)12(4( )12(4 keky k ； 2、 極 大 值 eeey 1)( ；3、 極 小 值 1)0( y ； 4、 極 小 值 0)0( y .