《《泰勒公式趙樹(shù)嫄》PPT課件.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《泰勒公式趙樹(shù)嫄》PPT課件.ppt（50頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、二 、 常 用 函 數(shù) 的 麥 克 勞 林 公 式 一 、 泰 勒 公 式 的 建 立三 、 泰 勒 公 式 的 應(yīng) 用 應(yīng) 用用 多 項(xiàng) 式 近 似 表 示 函 數(shù) 理 論 分 析近 似 計(jì) 算 第 三 章 問(wèn) 題 的 提 出在 理 論 分 析 和 近 似 計(jì) 算 中 ， 常 希 望 能 用 一 個(gè) 簡(jiǎn) 單我 們 已 經(jīng) 介 紹 了 用 線 性 函 數(shù) （ 一 次 多 項(xiàng) 式 ） 來(lái) 近 似 0 0 0 0 ( ) ( ) ( )( ) ( )f x f x f x x x o x x 的 函 數(shù) 來(lái) 近 似 的 表 示 一 個(gè) 比 較 復(fù) 雜 的 函 數(shù) 。表 示 函 數(shù) 的 方 法 ，

2、)1ln( xy xyo xyxey xy 1o xy 一 、 泰 勒 公 式 的 建 立 思 路 : nnn xxaxxaxxaaxP )()()()( 0202010 提 出 問(wèn) 題 : 1、 精 確 度 不 高 ；2、 誤 差 不 能 估 計(jì) .以 直 代 曲 近 似 存 在 不 足 ：尋 找 高 次 多 項(xiàng) 式 函 數(shù) P(x),使 得 )()( xPxf 誤 差 )()()( xPxfxR 可 估 計(jì) 。 設(shè) f (x)在 含 有 x0的 開(kāi) 區(qū) 間 內(nèi) 具 有 直 到(n+1)階 導(dǎo) 數(shù) ,試 找 出 一 個(gè) 關(guān) 于 (x-x0)的 n次 多 項(xiàng) 式 :來(lái) 近 似 表 達(dá) f(x)

3、,誤 差 Rn(x) = f(x)-Pn(x)是 比 (x-x0)n高 階 的 無(wú) 窮 小 ,并 給 出 誤 差 的 具 體 表 達(dá) 式 。 0 x )(xfy o xy 假 設(shè) 的 理 由 )()( 00 xfxPn )()( 00 xfxPn )()( 00 xfxPn 2.若 有 相 同 的 切 線3.若 彎 曲 方 向 相 同近似程度越來(lái)越好 1.若 在 點(diǎn) 相 交0 x 分 析 :假 設(shè) ).()(,),()( 0)(0)(00 xfxPxfxP nnnn ),()( 00 xfxPn ),()( 00 xfxPn ),( 00 xfa nnn xxn xf xxxfxxxfxfxP

4、 )(! )( )(!2 )()()()( 00)( 200000 ),(1 01 xfa )(!2 02 xfa , )(! 0)( xfan nn ( ) ( )0 0( ) ( ) 0,1,2, ,k knP x f x k n 由 假 設(shè) ( ) 01 ( ) ( 0,1,2, , ).! kka f x k nk 得 ( )nP x代 入 中 得 多 項(xiàng) 式 系 數(shù) 的 確 定下 面 定 理 表 明 ， 上 式 多 項(xiàng) 式 即 為 要 找 的 n次 多 項(xiàng) 式 。 )()(! )( )(!2 )()()()( 00)( 200000 xRxxn xf xxxfxxxfxfxf nnn

5、 證 明 : ),()()( xPxfxR nn 由 只 需 證 明 nn xn R )(1( )( 011 0)( )()()( )( 10 010 n nnnn xx xRxRxx xR 0)()()()( 0 )(000 xRxRxRxR nnnnn )( 01之間與在xx 0)(1( )()()(1( )( 01 01011 nnnnn xn xRRxn R 102 2 )(1( )( nn xnn R )( 102之間與在 x ),( 00 之 間與也 在 之 間與在 xxx n )()(!1 )()( 010)1(之間與在xxxxnfxR nnn ,0)()1( xP nn )()

6、( )1()1( xfxR nnn 則 由 上 式 得 注 ： 稱(chēng) 下 式 為 f(x) 按 (x-x0) 冪 展 開(kāi) n次 近 似 多 項(xiàng) 式 nk kkn xxk xfxP 0 00)( )(! )()( 稱(chēng) 下 式 為 f(x) 按 (x-x0) 冪 展 開(kāi) n 階 泰 勒 公 式 nk nkk xRxxk xfxf 0 00)( )()(! )()( .)(!1 )()( 10)1(為拉格朗日余項(xiàng)其中 nnn xxnfxR )()(! )()( 000 0)( nknk k xxoxxk xfxf 帶 佩 亞 諾 型 余 項(xiàng) 的 n 階 泰 勒 公 式0)( )(lim 00 nnxx

7、 xx xR及 .)()( 0 nn xxoxR 1n01n01)(nn xx1nMxxn fxR )(!)(!1 )()( )( ! )0(!2 )0()0()0()( )(2n nnxO xnfxfxffxf 帶 拉 氏 余 項(xiàng) 的 麥 克 勞 林 (Maclaurin)公 式 )10()!1( )( ! )0(!2 )0()0()0()( 1)1( )(2 nn nnxn xf xnfxfxffxf 麥 克 勞 林 公 式 帶 佩 氏 余 項(xiàng) 的 麥 克 勞 林 (Maclaurin)公 式 解 xn exf )()1(注意到代 入 公 式 ， 得 ).10()!1(!21 12 nxn

8、x xnenxxxe 由 公 式 可 知 !21 2 nxxxe nx 估 計(jì) 誤 差 )0( x設(shè) ).10()!1()!1()( 11 nxnxn xnexnexR !1!2111,1 nex 取.)!1( 3 n其 誤 差 )!1( n eRn二 、 常 用 函 數(shù) 的 麥 克 勞 林 公 式,)()( xk exf ),2,1(1)0()( kf k 解 .)!12()1(!5!3sin 212153 mmm Rmxxxxx 其 中 ).10()!12( 2)12(sin)( 122 mm xm mxxR ,sin,1 xxm 得近似公式取其 誤 差 )10(6|!3 )23sin(

9、332 xxxR )sin( x)()( xf k 2k2sin)0()( kf k mk 2,0 12 mk,)1( 1 m ),2,1( m !)2( 2mx mxxf cos)(. 備 選 例類(lèi) 似 可 得xcos 1 !22x !44x )(12 xR m其 中 )(12 xR m !)22( m )cos()1( 1 xm )10( m)1( 22 mx )1()1()(. xxxf 備 選 例 )()( xf k )1( x 1 x 2x nx )(xRn其 中 )(xRn 11)1(!)1( )()1( nn xxn n )10( kxk )1)(1()1( )1()1()0()

10、( kf k ),2,1( k!2 )1( ! n )1()1( n )1()1ln()(. xxxf備 選 例已 知 )1ln( x x 22x 33x nxn )(xRn其 中 )(xRn 11)1(1)1( nnn xxn )10( 1)1( n類(lèi) 似 可 得 )()( xf k kk xk )1( !)1()1( 1 ),2,1( k 常 用 函 數(shù) 的 麥 克 勞 林 公 式 )()!12()1(!5!3sin 221253 nnn xonxxxxx )()!2()1(!6!4!21cos 22642 nnn xonxxxxx )(1)1(32)1ln( 1132 nnn xonxx

11、xxx )(11 1 2 nn xoxxxx )(! )1()1( !2 )1(1)1( 2 nnm xoxn nmmm xmmmxx 三 、 泰 勒 公 式 的 應(yīng) 用1. 在 近 似 計(jì) 算 中 的 應(yīng) 用 誤 差 1!)1()( nn xnMxRM 為 )()1( xf n 在 包 含 0 , x 的 某 區(qū) 間 上 的 上 界 .需 解 問(wèn) 題 的 類(lèi) 型 :1) 已 知 x 和 誤 差 限 , 要 求 確 定 項(xiàng) 數(shù) n ;2) 已 知 項(xiàng) 數(shù) n 和 x , 計(jì) 算 近 似 值 并 估 計(jì) 誤 差 ;3) 已 知 項(xiàng) 數(shù) n 和 誤 差 限 ,確 定 公 式 中 x 的 適 用 范

12、 圍 .)(xf )0(f xf )0( 2!2 )0( xf nn xnf ! )0()( 已 知例 1. 計(jì) 算 無(wú) 理 數(shù) e 的 近 似 值 ,使 誤 差 不 超 過(guò) .10 6解 : xe !)1( n xe 1nx令 x = 1 , 得e )10(!)1(!1!2111 nen )10( 由 于 ,30 ee 欲 使)1(nR !)1( 3 n 610由 計(jì) 算 可 知 當(dāng) n = 9 時(shí) 上 式 成 立 ,因 此e !91!2111 718281.2xe 1 x !33x !nxn!22x的 麥 克 勞 林 公 式 為 說(shuō) 明 : 注 意 舍 入 誤 差 對(duì) 計(jì) 算 結(jié) 果 的

13、影 響 .本 例若 每 項(xiàng) 四 舍 五 入 到 小 數(shù) 點(diǎn) 后 6 位 ,則 各 項(xiàng) 舍 入 誤 差 之 和 不 超 過(guò) ,105.07 6總 誤 差 為 6105.07 610 6105 這 時(shí) 得 到 的 近 似 值 不 能 保 證 誤 差 不 超 過(guò) .10 6因 此 計(jì) 算 時(shí) 中 間 結(jié) 果 應(yīng) 比 精 度 要 求 多 取 一 位 .e !91!2111 例 2. 用 近 似 公 式 !21cos 2xx 計(jì) 算 cos x 的 近 似 值 ,使 其 精 確 到 0.005 , 試 確 定 x 的 適 用 范 圍 .解 : 近 似 公 式 的 誤 差 )cos(!4)( 43 xxx

14、R 244x令 005.0244 x 解 得 588.0 x即 當(dāng) 588.0 x 時(shí) ,由 給 定 的 近 似 公 式 計(jì) 算 的 結(jié) 果能 準(zhǔn) 確 到 0.005 . 2. 利 用 泰 勒 公 式 求 極 限例 3. 求 .43443lim 20 x xxx 解 : 由 于x4312 43 x 21)(2 43x 2 )(1 4321 x !21 )1(2121 243 )( x )( 2xo用 洛 必 塔 法 則不 方 便 !2x用 泰 勒 公 式 將 分 子 展 到 項(xiàng) , 11)1(!)1( )()1( nn xxn n nx! n )1()1( n )1( x 1 x 2x !2

15、)1( )10( x34 21)1(2 43x 2 20 lim xx原式)( 2216921 xox 329x43 )( 2216941 xox 2 x43 )( 2216941 xox 11)1(!)1( )()1( nn xxn n nx! n )1()1( n )1( x 1 x 2x !2 )1( )10( 3. 利 用 泰 勒 公 式 證 明 不 等 式例 4. 證 明 ).0(8211 2 xxxx證 : 21)1(1 xx 21 x 2)121(21!21 x 325)1)(221)(121(21!31 xx )10( 32 25)1(161821 xxxx )0(8211 2

16、 xxxx 內(nèi) 容 小 結(jié)1. 泰 勒 公 式其 中 余 項(xiàng) )( 0 nxxo 當(dāng) 00 x 時(shí) 為 麥 克 勞 林 公 式 .)(xf )( 0 xf )( 00 xxxf 200 )(!2 )( xxxf nn xxn xf )(! )( 00)( )(xRn10)1( )(!)1( )()( nnn xxnfxR )0( 之 間與在 xx 2. 常 用 函 數(shù) 的 麥 克 勞 林 公 式 ( P140 P142 ),xe ,)1ln( x ,sinx ,cosx )1( x3. 泰 勒 公 式 的 應(yīng) 用(1) 近 似 計(jì) 算(3) 其 他 應(yīng) 用 求 極 限 ,證 明 不 等 式 等

17、 .(2) 利 用 多 項(xiàng) 式 逼 近 函 數(shù) , xsin例如 42246 4 2 0 2 4 6 12!)12( )1(9!917!715!513!31 1sin nn xxxxxxx n )( 2nxo!33xxy !5!3 53 xxxy !7!5!3 753 xxxxy xy sinxy xsin泰 勒 多 項(xiàng) 式 逼 近 12!)12( )1(9!917!715!513!31 1sin nn xxxxxxx n )( 2nxoxsin 42246 4 2 0 2 4 6 xy sin!9!7 !5!3 97 53 xx xxxy !11!9 !7!5!3 119 753 xx xx

18、xxy 泰 勒 多 項(xiàng) 式 逼 近 思 考 與 練 習(xí) 計(jì) 算 .3cos2lim 40 2 x xexx )(!211 4422 xoxxex )(!4!21cos 542 xoxxx )()!412!21(3cos2 442 xoxxex 127)(lim 4 441270 x xoxx解 : 原 式 作 業(yè) P143 1 ;4 ; 5 ; 7 ; 8;10(1),(2) xy xy sin 播 放 關(guān) 于 公 式 的 理 解 xy xy sin關(guān) 于 公 式 的 理 解 xy xy sin !33xxy o關(guān)于公式的理解 xy xy sin !33xxy o!5!3 53 xxxy 關(guān)于公式的理解 xy xy sin!33xxy !5!3 53 xxxy !7!5!3 753 xxxxy o關(guān)于公式的理解 xy sin!11!9!7!5!3 119753 xxxxxxy o關(guān)于公式的理解 播 放