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1、3.1.1 從算式到方程 教學目標 1．知識與技能 （1）通過觀察，歸納一元一次方程的概念． （2）根據(jù)方程解的概念，會估算出簡單的一元一次方程的解． 2．過程與方法． 通過對多種實際問題的分析，感受方程作為刻畫現(xiàn)實世界有效模型的意義． 1．重點：了解一元一次方程的有關概念，會根據(jù)已知條件，設未知數(shù)，列出簡單的一元一次方程，并會估計方程的解． 2．難點：找出問題中的相等關系，列出一元一次方程以及估計方程的解． 3．關鍵：找出能表示實際問題的相等關系． 教具準備：投影儀． 教學過程

2、 一、復習提問 在小學里，我們已學習了像2x=50，3x+1=4等簡單方程，那么什么叫方程呢？什么叫方程的解和解方程呢？ 答：含有未知數(shù)的等式叫方程；能使方程等號兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解，求方程解的過程叫解方程． 方程是應用廣泛的數(shù)學工具，把問題中未知數(shù)與已知數(shù)的聯(lián)系用等式形式表示出來．在研究問題時，要分析數(shù)量關系，用字母表示未知數(shù)，列出方程，然后求出未知數(shù)． 怎樣根據(jù)問題中的數(shù)量關系列出方程？怎樣解方程？這是本章研究的問題． 通過本章中豐富多彩的問題，你將進一步感受到方程的作用，并學習利用一地一次方程解決問題的方法． 二

3、、新授 1．怎樣列方程？ 讓學生觀察章前圖表，根據(jù)圖表中給出的信息，回答以下問題． （1）根據(jù)圖中的汽車勻速行駛途經(jīng)王家莊、青山、秀水三地的時間表，你知道，汽車從王家莊行駛到青山用了多少時間？青山到秀水呢？ （2）青山與翠湖、秀水到翠湖的距離分別是多少？ （3）本問題要求什么？ （4）你會用算術方法解決這個實際問題呢？不妨試試列算式． （5）如果設王家莊到翠湖的路程為x（千米），你能列出方程嗎？ 解：（1）汽車從王家莊行駛到青山用了3小時，青山到秀水用了2小時． （2）青山與翠湖的距離為50千米，秀水與

4、翠湖的距離為70千米． （3）王家莊到翠湖的距離是多少千米？ （4）分析：要求王家莊到翠湖的距離，只要求出王家莊到青山的距離，而王家莊到青山的時間為3小時，所以必需求汽車的速度． 如何求汽車的速度呢？ 這里青山到秀水的時間為2小時，路程為（50+70）千米，因此可求的汽車的平均速度為（50+70）÷2=60（千米／時） 王家莊到青山的路程為：60×3=180（千米） 所以王家莊到翠湖的路程為：180+50=230（千米） 列綜合算式為：×3+50 （5）分析：先畫出示意圖，示意圖往往有助于分析問題． 從上圖

5、中可以用含x的式子表示關于路程的數(shù)量： 王家莊距青山（x-50）千米，王家莊距秀水（x+70）千米． 從章前圖表中可以得出關于時間的數(shù)量： 從王家莊到青山行車3小時，從王家莊到秀水行車5小時． 由路程數(shù)量和行車時間的數(shù)量，可以得到行車速度的表達式． 汽車從王家莊開往青山時的速度為千米／時，汽車從王家莊開往秀水的速度為千米／時． 要列出方程，必需找出“相等關系”，題目中還有哪些相等關系嗎？ 根據(jù)汽車是勻速行駛的，可知各段路程的車速相等． 于是列出方程： = 以后我們將學習如何解這個方程，求出未知數(shù)

6、x的值，從而得出王家莊到翠湖的路程． 思考：對于以上的問題，你還能列出其他方程嗎？如果能，你依據(jù)的是哪個相等關系？ 根據(jù)汽車勻速行駛，可知各段路程的車速相等． 所以還可以列方程： =或= （前者是汽車從王家莊到青山與從青山到秀水，這兩段路程的車速相等，后者是汽車從王家莊到翠湖與從青山到秀水，這兩段路程的車速相等） 比較用算術方法和列方程方法解應用題，用算術方法解題時，列出的算式表示用算術方法解題的計算過程，其中只能用已知數(shù)，對于較復雜的問題，列算式比較困難；而方程是根據(jù)問題中的等量關系列出的等式，其中既含有已知數(shù)，又含有用字母表示的

7、未知數(shù)，有了這個未知數(shù)，問題中的已知量與未知量之間的關系就很容易用含有這個未知數(shù)的式子表示，再根據(jù)“相等關系”列出方程． 有了方程后人們解決許多問題就更方便了，通過今后的學習，你會逐步認識：從算式到方程是數(shù)學的進步． 列方程時，要先設字母表示未知數(shù)，通常用x、y、z等字母表示未知數(shù)，然后根據(jù)問題中的相等關系，寫出含有未知數(shù)的等式即方程． 例1：根據(jù)下列問題，設未知數(shù)并列出方程． （1）用一根長24cm的鐵絲圍成一個正方形，正方形的邊長是多少？ 分析：設正方形的邊長為x（cm），那么周長為4x（cm），依題意，得4x=24． （2）一

8、臺計算機已使用1700小時，預計每月再使用150小時，經(jīng)過多少月這臺計算機的使用時間達到規(guī)定的檢修時間2450小時？ 分析：設再經(jīng)過x月這臺計算機的使用時間達到規(guī)定的檢測時間，根據(jù)每月再使用150小時，那么x月共使用150x小時． 能表示這個問題的相等關系是什么？ 相等關系是：已使用的時間1700小時＋還可以使用的時間150x小時＝規(guī)定的檢測時間2450小時． 從而列出方程：1700+150x=2450． 找出表達問題意義的相等關系是列出方程的關鍵． （3）某校女生占全體學生的52%，比男生多80人，這個學校有多少學生？

9、問：女生占全體學生數(shù)的52%，那么男生占全體學生數(shù)的（1-52%），如果設這個學校有x個學生，那么用含x的式子表示女、男學生數(shù)． 女生有52%x人，男生有（1-52%）x人； 問題中的相等關系是什么？ （女生比男生多80人）即女生人數(shù)-男生人數(shù)=80或女生人數(shù)=男生人數(shù)+80． 列方程：0.52x-（1-0.52）x=80或0.52x=（1-0.52）x+80． 2．一元一次方程的概念． 觀察以上所列出的各方程，有什么特點？每個方程有幾個未知數(shù)，未知數(shù)的指數(shù)是多少？ 只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1，這樣的方程叫做

10、一元一次方程． 例如方程2x-3=3x+1，-3=2y等都是一元一次方程，而x+y=5，x2+3x=2都不是一元一次方程． 以上分析過程可歸納為： 分析問題中的數(shù)量關系──設未知數(shù)x──用含x的式子表示實際問題中的數(shù)量關系──找出相等關系，利用相等關系列出方程（一元一次方程）． 列方程是解決實際問題的一種重要方法，利用方程可以解出未知數(shù)． 觀察方程4x=24，不難發(fā)現(xiàn)，當x=6時，4x的值是24，這時方程等號左右兩邊相等，x=6叫做方程4x=24的解，這就是說，方程4x=24中未知數(shù)x的值應是6． 從方程1700+150x=2450

11、，你能估算出x的值嗎？ 這里x是正整數(shù)，如果x=1，那么方程左邊=1700+150×1=1850≠右邊 所以x≠1． 如果x=2，則方程左邊=1700+150×2=2000≠右邊， 所以x≠2． 類似地，我們可以列出下面的表． x的值 1 2 3 4 5 6 … 1700+150x 1850 2000 2150 2300 2450 2600 … 從表中可以發(fā)現(xiàn)，當x=5時，1700+150x的值是2450． 這時方程1700+150x=2450等號左右兩邊相等，x=5叫做方程170

12、0+150x=2450的解，這就是說，方程1700+150x=2450中未知數(shù)x的值應是5． 解方程就是求出使方程中等號兩邊相等的未知數(shù)的值的過程，這個值就是方程的解． 你能從表中發(fā)現(xiàn)方程1700+150x=2600的解嗎？ 當x=6時，1700+150x的值為2600，即x=6時方程等號兩邊的值相等，所以這個方程的解是x=6． 思考：你能估算出方程2（x+1.5x）=24和方程0.52x-（1-0.52）x=80的解嗎？ 以上估算難度較大，第一個方程，當x=4時，方程左邊=20<24；當x=5時方程左邊=25>24，所以取x=4.7或x=

13、4.8．試一試，結(jié)果當x=4.8時，方程左邊=24=右邊，所以方程的解為x=4.8．第二個方程的解為x=2000，困難更大了，可以告訴學生，當我們學習了方程的解法后，就很容易求出x的值了． 思考：x=1000和x=2000中哪一個是方程0.52x-（1-0.52）x=80的解？ 三、鞏固練習 課本第82頁練習． 1．設沿跑道跑x周，可以跑3000m，根據(jù)相等關系──x周共長3000m． 所以列方程：400x=3000，如果x=7，則400x=2800<3000，如果x=8，則400x=3200>3000，如果x=7.5，則400x=400

14、7.5=3000，所以沿跑道跑7周半，可以跑3000m． 2．如果設買甲種鉛筆x枝，那么買乙種鉛筆（20-x）枝，買甲種鉛筆用去0.3x元，乙種鉛筆用去0.6（20-x）元，相等關系是： 兩種鉛筆共用了9元錢，由此可列方程． 0.3x+0.6（20-x）=9 3．設上底長為xcm，那么下底長為（x+2）cm， 根據(jù)梯形面積公式，可列方程： =40 四、課堂小結(jié) 方程在小學里已初步學過，對于方程中的一些概念，如：方程的解和解方程等，要進一步弄清楚，今天還學習了一元一次方程的定義，“一元”是指方程中只有一個未知數(shù)，“一

15、次”是指方程中未知數(shù)的指數(shù)是一，這樣的方程才是一元一次方程． 用估算求方程的解，實際上是檢驗一個數(shù)是否為方程的解，方法是：把這個數(shù)分別代入方程的左、右兩邊，看是否相等，若方程只有一邊含有未知數(shù)，而另一邊只有一個數(shù)，則只需代入只有未知數(shù)的一邊，計算出結(jié)果，看其是否和另一邊相等． 列方程是本節(jié)課重點，掌握列方程解決實際問題方法步驟： 設未知數(shù)──用含未知數(shù)的式子表示問題中的數(shù)量關系． 找出相等關系──列出一元一次方程． 其中找相等關系是關鍵也是一個難點，這個相等關系要能夠表示應用題全部含義的相等關系，也就是題目中給出的條件應予充分利用，不能把同一條

16、件重復利用． 五、作業(yè)布置 1．課本第84頁至第85頁習題3．1第1、2、5、6、9題． 2．選用課時作業(yè)設計． 課后反思： 3.2.1一元一次方程的的討論（一） 一、背景與意義分析 本節(jié)前一節(jié)1.1已介紹了一元一次方程的意義及等式性質(zhì)，本節(jié)主要解決如何一元一次方程解法的問題。 一元一次方程是最簡單的方程，它的解法是解其它代數(shù)方程的基礎。本章從引出方程、一元一次方程的的概念，到講解一元一次方程的解法，都是從實際問題導入。在解決實際問題的過程中探討概念、數(shù)量關系、列方程的方法、解方程的步驟。使本章的學習始終貫徹數(shù)學建模的思想。 本課主要學習“合并”，根

17、據(jù)“問題1”所得的方程，觀察其特征，利用分配律，分析得到“合并”法則，從而得到這類一元一次方程的解法。 二、學習與導學目標 1．知識積累與疏導：通過“問題1”，分析等量關系，得到一元一次方程。認知率達100%。 2．技能掌握與指導：通過分析一元一次方程特征，掌握“合并”法則，從而學會該類一元一次方程。利用率100%。 3．智能提高與訓導：在與同學與老師的交流探究過程中，學會合作，學會向別人清晰表過自己的思維過程。 4．情感修練與開導：積極創(chuàng)設問題情景，初步理解解一元一次方程的基本思想。投入率95%。 5．觀念確認與引導：通過“解方程”這一數(shù)學方法的發(fā)現(xiàn)與實際過程，感受到“問題情境-

18、---分析討論----發(fā)現(xiàn)方法----解釋應用”模式，從而更好理解解方法的基本思想。認同率95%。 三、障礙與生成關注 通過分析較復雜方程，找到化歸為簡單方程的過程難度較大，為此要鼓勵學生積極思考。 四、學程與導程活動 （一） 創(chuàng)設情景，引入新課 介紹數(shù)學阿爾·花拉子米及關于方程的著作《對消與還原》。引入問題： “對消與還原”是什么意思？ （二） 分析例題，揭示課題 問題1 某校三年共購買計算機140臺，去年購買數(shù)學是前年的 2倍，今年購買數(shù)學又是去年的2倍，前年這個學校購買了多少臺計算機？ 基本思想：列方程------解方程 （1） 列方程 設未知數(shù)：設前年購買計算機

19、x臺。 分析： 第一步：問題中還有哪些量？如何表示？ 去年購買計算機__________臺； 今年購買計算機__________臺。 第二步：問題中有什么樣的等量關系？ 前年購買量+去年購買量+今年購買量=140臺 第三步：根據(jù)上面分析，列出方程 x+2x+4x=140……………….(1) 上面得到的方程如何解呢？ （三） 觀察分析，化簡方程 分析： 第一步：觀察這個方程與前面所解的一元一次方程有什么不同？ 這個方程比上節(jié)所學的方程相比，式子比較復雜。所以不能簡單求解。 如果上面的方程能轉(zhuǎn)化為比較簡單的一元一次方程，那么方程（1）就是可解的。 如何轉(zhuǎn)化呢？ 第

20、二步：觀察x+2x+4x特征，由分配律可化簡 x+2x+4x=(1+2+4)x=7x 這個過程稱為“合并” 這樣原方程可化為：7x=140 這個方程是一個簡單的一元一次方程，是可以解的，所以原方程就可以解了。 第三步：總結(jié)解此類一元一次方程的步驟。 x+2x+4x=140 ↓合并 7x=140 ↓系數(shù)化為1 x=20 （四） 解答例題，規(guī)范書寫 例 解方程3x+2x-8x=7 解：合并，得 -3x=7 兩邊同除以-3，得 x=- （五） 練習鞏固，總結(jié)討論 （1）課本P77 1,2 （2）小結(jié)：（3）作業(yè) 課后反思：

21、3.2.2一元一次方程的討論（二） 一背景與意義分析 本課時是人教版七年級上冊第二章第二節(jié)從古老的代數(shù)書說起-----一元一次方程的的討論(1)的第二課時,通過本節(jié)課的教學,不僅要激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,而且要讓學生體會到數(shù)學就來源于生活.從中國古代燦爛的文化,激發(fā)學生的愛國熱情. 在上一節(jié)課,已經(jīng)重點討論了解方程中的“合并”。通過本節(jié)課的教學，學進一步解ax+b=cx+d型的方程的解法，進一步體會“解方程就是要使方程不斷向x=a的形式轉(zhuǎn)化”的化歸思想。引導學生聯(lián)系解方程的目標體會解法。 二學習與導學目標 知識技能： 1、找相等關系列一元一次方程 2、用移項解一元一次方程

22、數(shù)學思考： 1、學習分析問題找到相等關系并通過列方程解決問題的方法 2、通過學習移動解一元一次方程，體會到式子變形的轉(zhuǎn)化作用。 解決問題： 體會解方程中的化歸思想，會移項、合并解ax+b=cx+d型方程，進一步認識如何用方程解決實際問題。 情感態(tài)度： 通過學習“合并”和“移項”，體會古老的代數(shù)書中的“對消” 和“還原”的思想，激發(fā)數(shù)學學習的熱情。 三 障礙與生成關注 重點 1、找相等關系，列一元一次方程 2、用移項，合并等解一元一次方程 難點 找相等關系列方程，正確地移項解一元一次方程四學程與導程活動 活動1 復習：通過“合并”解方程 （1）-6x+5.6

23、x=2 （2）x-x= （3）6z-1.5z-2.5z=3 （從學生已有的知識出發(fā)，為進一步學習做好知識準備） 活動2 問題2 把一些圖書分給某班學生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本，如果每人分4本，則還缺25本，這個班有多少學生？ 設這個班有x名學生 分析題意 找出等量關系， 列出方程：3x+20=4x-15 （通過問題2，再現(xiàn)列方程解決實際問題的過程） 活動3 （1）方程3x+20=4x-25的兩邊都有含x的項（3x與4x）和不含字母的常數(shù)項（20與-25），怎樣才能使它向x=a（常數(shù)）的形式轉(zhuǎn)化呢？ 同時解釋“含x的項”和“常數(shù)項” （前后兩桌

24、為一組，討論交流，如何變?yōu)閤=a的形式） （通過問題2提供的方程，學習移項法解方程，體會知識的發(fā)展過程） （2）為了使方程的右邊沒有含x的項，等號兩邊同減4x為了使左邊沒有常數(shù)項，等號兩邊同減20，整個過程利用了等式的性質(zhì)1，通過觀察結(jié)果強調(diào)“變號”這個特點，從而理解移項的概念。 （3）移項的概念：像上面那樣把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫做移項 （4）用下面的框圖表示解這個方程的具體方程 3x+20=4x-25 ↓移項 3x-4x=-25-20 ↓合并 -x=-45 ↓系數(shù)化為1 x=45 活動4 例題 解方程： （1）-0.48x-6=0.02x

25、 （2）5x+2=7x-8 演示解方程的具體步驟，格式，規(guī)范書寫 活動5 練習P79 活動6 總結(jié)：移項的方法及注意點，體會“對消”和“還原”與“合并”和“移項”的思想。 （通過對移項的思考及解方程過程的總結(jié)，豐富學生的認知結(jié)構） 活動7 作業(yè)：P82 2、3、7、9 六練習與拓展過程 1、 已知k是整數(shù)，關于x的方程7x-5=kx+9有正整數(shù)解，求k的所有可能值 2、 （古代數(shù)學問題）好馬每天走240里，劣馬每天走150里，劣馬先走12天，好馬幾天可以追上劣馬？ 課后反思： 3.2.3一元一次方程的的討論(三) 一背景與意義分析 本課在引出了方

26、程一元一次方程等基本概念，以及一元一次方程的解法，引出例1，例2有關數(shù)列的數(shù)學問題，題中有三個未知數(shù)，它們是互相聯(lián)系，通過觀察可以 發(fā)現(xiàn)它們的排列規(guī)律，然后根據(jù)數(shù)量關系，設出適當?shù)奈粗獢?shù)，列出一元一次方程。以方程為工具分析問題，解決問題，即建立方程模型是全章的重點。同時，也是難點。而本節(jié)課通過一個同學熟悉的“配比”問題引入，引導學生嘗試用算術方法解決它，然后，再進一步分析，由學生列出含未知數(shù)的式子表示有關的量。根據(jù)題中的相等關系，列出方程達到解決問題目的。然后，進一步引出例1等問題。通過師生共同參與，探索，發(fā)現(xiàn)，歸納，使學生認識到用方程這樣的工具來解決應用題的優(yōu)越性，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情

27、。 二學習與導學目標 知識技能： (1)一元一次方程解決實際問題; (2)會通過合并，移項解一元一次方程; (3)進一步鞏固用一元一次方程解決實際問題的步驟; 數(shù)學思考： ( 1)會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，通過列方程解決問題; (2)會用不同的方程解決實際問題; 解決問題：通過學生自主探究，師生共同研討，體驗將實際問題轉(zhuǎn)化 成數(shù)學問題，并加以解決。 三障礙與生成關系 重點：會用一元一次方程解決實際問題; 難點：通過尋找規(guī)律，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，通過列方程解決問題。 四學程與導程活動 教學流程安排 活動流程圖 活動1 創(chuàng)設問題情境

28、 活動2 提出例題1 活動3 通過希臘數(shù)學家丟番圖的墓碑上記載的數(shù)學題激發(fā)學生學數(shù)學的熱情。 活動4 鞏固練習，進一步激發(fā)學生學數(shù)學用數(shù)學的熱情，提高分析解決問題的能力 活動5 小結(jié)，本節(jié)課你學到什么? 活動內(nèi)容和目的 由問題引入例1，激發(fā)學生學習欲望 對問題分析理解，找出規(guī)律，讓學生學會分析問題的方法 教師引導學生回憶總結(jié) 教學過程設計 問題與情境 活動1 一種混凝土中，水泥，黃沙，石子的配比是1：2：3，現(xiàn)有混凝土1000kg，則水泥，黃沙，石子各有多少kg? 活動2 例1有列數(shù)，按一

29、定規(guī)律排列，1，-3，9，-27，81，-243，…，其中某三個相鄰數(shù)的和是-1701，這三個數(shù)各是多少? 活動3 希臘數(shù)學家丟番圖(公元3-4世紀)的墓碑上記載著：”他生命的d臘數(shù)學系,