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1、線面垂直的證明中的找線技巧 通過計(jì)算，運(yùn)用勾股定理尋求線線垂直 1 如圖1，在正方體中，為 的中點(diǎn)，AC交BD于點(diǎn)O，（Ⅰ）求證：平面MBD．（Ⅱ）求的體積 練習(xí)1：如圖，在四棱錐中，平面平面，，是等邊三角形，已知，． A B C M P D （Ⅰ）設(shè)是上的一點(diǎn)，證明：平面平面； （Ⅱ）求四棱錐的體積． 練習(xí)2、已知是矩形，平面，，，為的中點(diǎn)． 求證：平面； 利用面面垂直尋求線面垂直 例2 如圖2，是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，且PA⊥平面

2、ABC，平面PAC⊥平面PBC．求證：BC⊥平面PAC． 　 練習(xí)3 如圖１所示，ABCD為正方形，⊥平面ABCD，過且垂直于的平面分別交于．求證：，． 　　 應(yīng)用等腰(等邊)三角形三線合一性質(zhì) 所謂三線合一的性質(zhì)是等腰三角形底邊的中線同時(shí)是高和角分線,可以很輕松的得到線線垂直,從而為證明線面垂直做了很好的準(zhǔn)備工作. 圖2 例3：如圖2所示，已知垂直于所在平面，是的直徑，是的圓周上異于、的任意一點(diǎn)，且，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).求證：平面.

3、 應(yīng)用兩條平行線的性質(zhì) 大家知道兩條平行線中如果有一條與一個(gè)面中的直線垂直,則兩條平行線都與平面中的直線垂直. 在三角形中位線與底邊平行,可以得到線線平行的關(guān)系,平行四邊形對(duì)邊平行也可以得到線線平行,這樣的結(jié)論很多,我們可以欣賞體會(huì)這樣的方法. 圖3 例3:如圖3所示,為△所在平面外一點(diǎn), 平面,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),在上,,求證:平面. 應(yīng)用平面圖形的幾何性質(zhì) 我們都發(fā)現(xiàn)在立體幾何問題的解決中,平面圖形的性質(zhì)產(chǎn)生了很重要的地位,在學(xué)習(xí)立體幾何的過程中,平面幾何的諸多知識(shí)點(diǎn)

4、不能推廣到三維空間,但同學(xué)們要注意平面圖形的性質(zhì)在解決立體幾何的時(shí)候會(huì)發(fā)揮很重要的作用. 例4:如圖4所示,四邊形是邊長(zhǎng)為1的菱形,點(diǎn)是菱形所在平面外一點(diǎn)， ∠,是的中點(diǎn),平面,求證:⊥平面. 圖4 4 如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD， 作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD． 證明：取AB的中點(diǎn)Ｆ，連結(jié)CF，DF． ∵，∴． ∵，∴． 又，∴平面CDF． ∵平面CDF，∴．

5、 又，，　 ∴平面ABE，． ∵，，， ∴ 平面BCD． 評(píng)注：本題在運(yùn)用判定定理證明線面垂直時(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；而證明線線垂直時(shí)，又轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．如此反復(fù)，直到證得結(jié)論． 5 如圖３，是圓Ｏ的直徑，Ｃ是圓周上一點(diǎn)，平面ABC．若AE⊥PC ，Ｅ為垂足，Ｆ是PB上任意一點(diǎn)，求證：平面AEF⊥平面PBC． 證明：∵AB是圓Ｏ的直徑，∴． ∵平面ABC，平面ABC， ∴．∴平面APC． ∵平面PBC，　 ∴平面APC⊥平面PBC． ∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC， ∴AE⊥平面PBC． ∵平面AEF，∴

6、平面AEF⊥平面PBC． 評(píng)注：證明兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般可先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，即證線面垂直，而證線面垂直則需從已知條件出發(fā)尋找線線垂直的關(guān)系． （2）【解】平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD． 2．ABC—A′B′C′是正三棱柱，底面邊長(zhǎng)為a，D，E分別是BB′，CC′上的一點(diǎn)，BD＝a，EC＝a． （1）求證：平面ADE⊥平面ACC′A′； （2）求截面△ADE的面積． （1）【證明】分別取A′C′、AC的中點(diǎn)M、N，連結(jié)MN， 則MN∥A′A∥B′B， ∴B′、

7、M、N、B共面，∵M(jìn)為A′C′中點(diǎn)，B′C′=B′A′，∴B′M⊥A′C′，又B′M⊥AA′且AA′∩A′C′=A′ ∴B′M⊥平面A′ACC′． 設(shè)MN交AE于P， ∵CE＝AC，∴PN＝NA＝． 又DB＝a，∴PN＝BD． ∵PN∥BD， ∴PNBD是矩形，于是PD∥BN，BN∥B′M， ∴PD∥B′M． ∵B′M⊥平面ACC′A′， ∴PD⊥平面ACC′A′，而PD平面ADE， ∴平面ADE⊥平面ACC′A′． （2）【解】∵PD⊥平面ACC′A′， ∴PD⊥AE，而PD＝B′M＝a， AE＝a． ∴S△ADE＝×AE×PD ＝×． 1、

8、S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求證AB⊥BC. S A C B 2、在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD 證明:AB⊥平面VAD V D C B A 3、如圖，棱柱的側(cè)面 是菱形，，證明：平面平面 如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．(1)求證：CD⊥AE；(2)求證：PD⊥面ABE. 4、如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形。 底面 ，證明：