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1、第二篇傅里葉級數(shù)和積分(FourierseriesandFourierintegral)在函數(shù)的泰勒、羅朗展開式中，我們采用的是一系列幕函數(shù)作為基本函數(shù) 族。這些基本函數(shù)族乘以不同系數(shù)后進(jìn)行迭加便構(gòu)成不同函數(shù)的展開式，然而幕 函數(shù)沒有周期性。盡管幕函數(shù)在研究解析函數(shù)中具有特別重要的地位，但周期函數(shù)展開為幕函數(shù)以后，周期性就很難直接體現(xiàn)出來，因此在研究周期函數(shù)時便需要采用其它函數(shù)作為基本函數(shù)。 §24周期函數(shù)的傅里葉級數(shù) 采用滿足條件fx24f的x—系列諧函數(shù)1， nx2兀xlilk兀x說.xx.2兀x“I.n兀x小/后斗甘*〒來存“cos,cosJ||,cos,|||及sin,sin

2、川],sin,|||作為基本函數(shù)族 該基本函數(shù)族中任意兩者彼此正交，或者說兩者的乘積在一個周期上的積分為lk~xl-k「x icok-dx「_|L1帶/ lk~xl-k「x icok-dx「_|L1帶/ k~x -l 0,k=0 2|20 k：x 1si4-ll lik^x dx1s+~ndx二0 L-lllk二xn二x’1lknk-n,0,k=n coscosdxcosxcosxdx=-lll2-lILlll,k=n l.k二x.n*1lk-nkn,0,k=nsinsindxcosx-cosxdx= -lll2-lILlll,k二nlcos^^sin^

3、^d^1lsin□二xsin口二xdx" -lll2-lILll可以證明，上述諧函數(shù)族是完備的，即任意分段連續(xù)的周期函數(shù)均可用上述諧函 數(shù)族展開，且當(dāng)N>：:時。原函數(shù)和展開式間的平方平均誤差>0，亦即周期函數(shù)fx可展開為k二x「k[x fx=a01akco-sbksin0Jklkl) 上式稱為周期函數(shù)fx的傅里葉級數(shù)展開，ak和bk稱為傅里葉系數(shù)a?！梗? 21-l a。」： 21-l fxdx 容易求出 容易求出 1.lknx ak0fxcosdxl'-ll ,1」「.knx,bk=-Jf(x)sindx l—ll關(guān)于傅里葉級數(shù)的收斂性問題有:狄里希利(D

4、irichlet)定理：若周期函數(shù)滿足狄里希利條件 ① 處處連續(xù)或者在每個周期中只有有限個間斷點，并且在間斷點的躍度是有限的在每個周期中只有有限個極值，則傅里葉級數(shù)收斂于 fx在連續(xù)點 1 -1|fx0fx-0間斷點關(guān)于希爾伯空間(Hilbertspace):希爾伯空間是無限維的。它由無限多個彼此正交且完備的基矢構(gòu)成。周期函數(shù)fx的傅氏級數(shù)相當(dāng)于該空間的矢量fx在基矢 nx2兀xink兀x小說..2兀xLi】.n兀x小_砧士一+1，cos,cos,,cos,及sin,sin,,sin,上的表示，該 llllll空間的一個點由(ao,ai,|l(,an,川,b-,b2川川)表示，除前

5、述諧函數(shù)族外，還有許多完備的函數(shù)族可作為希爾伯空間的基矢。因此還可以利用其它的完備函數(shù)族將 fx作廣義傅里葉級數(shù)展開在-周期上 co? 在-周期上 co? jiajr 0,,—1?co Et二- Eosinwt, &」 將其展開為傅氏級數(shù) 該函數(shù)滿足狄里希利條件，則 該函數(shù)滿足狄里希利條件，則 n二 Et[=a。亠一ancos一 n￥Il tbnsin 則a0_：：Etdt二旦(1cos")2h二疋271 co E0cosancosm兀+sinansinna兀(一1)1/1二 an=—Etcos — ccJT Eo1-n2 2Ico吳

6、兀sinn口兀一nsin2兀cosn2兀］,n式1兀（1一n1 旦：14二L 在計算傅里葉系數(shù)時，經(jīng)常用到1衛(wèi).… bnEtsin——dt二 」L —ocont 1 sin2_：：：. 31,n=1 ?—1)k ?i1) k1 sink1 sink- -1 I2丿 I2丿 / k cosk二--1k cosk：二--1cos一:沉sink：~- k-1srn二（k為整數(shù)，［為實數(shù)） §2.5奇的和偶的周期函數(shù)1l 對于奇函數(shù)a0fxdx=0 anI I1 "Ilfxco〒dx二 n二x bn彳：fxsin〒dx彳0fxsinbksin在x

7、=0和x=l處為零 1l.. 對于偶函數(shù)a0=才(xdx=fJ0f(xjdx 1la二— anlbn+ QO fxjua。1亠二akk=1 I-」fxcos^^dx彳0fxcos 1n二x丄fxsindx=0 ldxcos的導(dǎo)數(shù)在x=0和x=I處為零 I例1研究fx二1 一1 2m二，2m1二_‘；的頻譜 ]i2m-1-,2m-fxsinI sirx-3 1 sixn3s:iFI5 5注意Gibbs現(xiàn)象（9%）峰值位置隨項數(shù)增多向跳變點靠近，峰值超出

8、 跳變值的9%例2、在(-二，二)這個周期上，f(x)二cos〉x,(：?非整數(shù))，將其展開為傅立葉級數(shù)。 §2.6有限區(qū)間上的函數(shù)的傅里葉級數(shù) 關(guān)于時間、空間的周期函數(shù)均要求自變量的取值范圍為無限，即從-R到+R。而實際物理系統(tǒng)無論是時間還是空間均為有限，因此這樣的函數(shù)能否展開為傅里葉級數(shù)，前提是什么？ 可將函數(shù)在無限的時間、空間范圍內(nèi)作解析延拓，由于函數(shù)在定義域外沒有定義，因此可以有無數(shù)種延拓方式。實際情況應(yīng)依據(jù)邊界上的函數(shù)取值，進(jìn)行奇或偶延拓等例3、f(x)=1，定義在(0,二)上，要求f(x)的值在邊界上為零，試根據(jù)這一要求將f(x) 展開為傅立葉級數(shù)。 例4、

9、f(x)=1，定義在(0,二)上，要求f(x)的導(dǎo)數(shù)在邊界上為零，試根據(jù)這一要求將f(x)展開為傅立葉級數(shù)。 例5、在區(qū)間(0,丨)上定義了函數(shù)f(x) 二x。試根據(jù)條件f(0)=0,f(l)=0將f(x)展開為 傅立葉級數(shù)。 §2.7復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)由cos^J》e」 l2 由cos^J》e」 l2 iLx 〒) 則可采用如下基本函數(shù)簇 ikt：X廠:以 e〒…e丁 _i.k〔込 e1 從而把周期函數(shù) 從而把周期函數(shù) °° f(x)Cke k: ii匹 注意到e丨 .n「x -i. e idx=0 21 1 則有

10、：Ck盲 i 4f(x)e ik「：x Tdx 第七章傅里葉積分 §28.非周期函數(shù)的傅里葉積分 非周期函數(shù)看成周期為R的周期函數(shù)，由實數(shù)形式的傅氏展開式 f(x)二(akcosbksin)k=0ll 012k 令-■：,p：,y-：Ly-：L分別為-'0/'1/'2LkL oO 則上式可表示為f(x)=7(akcoskxbksin「kx)k衛(wèi) 注意到.J，八’k.1-「k二T當(dāng)周期趨于8時止;"d' 因此，對于周期為8的周期函數(shù)X1l1l f(x)=lim遲{[——Jf(E)cos

11、 k=0-?」匚J1I1l =lim、{[f()coskd]coskx二-:[f()sin「kd]sinkxf} 」/：k蘭-k—」二?OU；f(Mid期xd' OU；f(Mid期xd' 垐垐垐詈戸m()cos'd】cos? 1-/21.丄」」1比1oO 令A(yù)?)=—[f(x)coscoxdxB(國)=—[f(x)sinxdxJ[Tt 則周期為8的非周期函數(shù)f(x)的傅氏級數(shù)變?yōu)楦凳戏e分OdO0 f(x)二°A(，)cos，xd心亠IB(，)sin■xd，其中A(w)和B(w)為f(x)的傅里葉變換式。 由復(fù)數(shù)形式的傅氏展開式： ::jk逹 f(x)Cke1 kz

12、=joci Ck=2!：f(x)(e〒)*dx oO1|如i旦則當(dāng)周期21r時，f(x)=|im_7[f(x)e1dx]e1l^°k^O2I C3O =lim、[I ，k=o0 f(x)e-1kxdx]eikxv■ ：：1：： 「丿右.」(x)e「xdx]eixd■ oO二FC■)eixd■ 1oO~*其中FC■)fxerdx，稱為f(x)的傅氏變換，可記為F(「)二F[f(x)] OTT f(x)二F‘[F(J]傅氏積分的性質(zhì)：①f'(x)的傅氏變換rF() 1 ②f(x)dx的傅氏變換=F()i?延遲定理F[f(x)]=F()則F[f(x—X。)]=F(')

13、e 第5頁 ④位移定理F［e"xf（x）］=F（「-飛）⑤卷積定理F［「f,）f2（x-）d］二片（?）F2（?）2二 JjoO 傅氏變換和拉氏變換的關(guān)系：傅氏變換是拉氏變換中p取純虛數(shù)iw的特殊形式，傅氏 變換中對f（x）的要求比較嚴(yán)格，而拉氏變換中僅要求f（x）隨x的增長速度不快于eRepx周期函數(shù)和非周期函數(shù)的頻譜的區(qū)別：周期函數(shù)的傅氏變換式頻譜是分立的 Tl，而非周期函數(shù)的傅氏變換式中的頻譜是連續(xù)的f-；0。 l三維空間中的傅氏變換式 ikrdkidk2dk3 F(k)=夫…f#)(eikr)*dxdydz(2巧邊 1 f(r)”； F(k)，dkF(k)=(2

14、^f(r)(0)*d； 0)adk=dk1dk2dk3 dr三dxdydz例1.研究矩形脈沖 0,t：：-T f(t)=」h,-TctcT的頻譜。 0,T :::t解: oQf(t)=J0A(cc)cos^td國 1O0AdfK)cotdt二上0h ■I 例2把f(t^S^-展為傅氏積分(t qQ解：f(t)二oA()costd■ 2spiTctds二sinkt Sakt稱為抽樣函數(shù))kt 2^sinCt1°°1呵A()costdt[-sin(■")tdtsin(■')tdt] 兀PtJ!t'0t JT —,ma0 2 0,m=0-—,mc0 L21::

15、1 imx ■x::sinmx’1:M,i dx(e；x2i ?imx、 -e)dx) 0,w>Q則：A(w)=1,w-1I2 1,w:::1 P1042,4§29:函數(shù)和它的傅里葉積分 -函數(shù)是數(shù)學(xué)物理中很重要的數(shù)學(xué)概念，它描寫空間中的點源和時間上瞬時源,義函數(shù)。 它是廣§29.1—維：函數(shù)的定義 在物理上通常需要描寫自變量取某個特定值時函數(shù)值為無窮大,值為零，但函數(shù)沿定義域的積分值有限。即： 而自變量取其他值時,函數(shù)

16、 二，X=x°'(x—x°)=—壬— /[U,XbX0nr6(x—X0)dx=—1,[6(x—x0)dx=1.(EaO) 、(x-x0)dx二1$joO §29.2函數(shù)的性質(zhì)1.對于任意緩變的連續(xù)函數(shù) COx)0一-冷也-P0f(Xo) f(Xo) f(x):(x-xo)f(x)dx(x-Xo)f(x)dxx(乞-；，xo；)f(x)、(x-xo)dx=f(x)_=X)X0「；X—：x0 2.、?(—x)二、(x)qQ f(x)(-x)dx -QO qQ f(x)(-x)dx -Q

17、O f(-t)(t)dt QO ：f(-t)(t)dt -QO f(0) □fl f(x)(x)dx= -oO f(0)=(x)=(x) 3.f(X)、(x「a)二f(a)、(x_a) ；f(x)、(x-a)dx=:f(x)、(a-x)dx二f(a) -cQ f(a)、(x-a)dx二f(a) 4.X(X)=0 x=f(x):: f(x)(x)dx -oa .__x；(x)dx=0即x(x)在積分號下的作用同零。 QO (ax)dx- odod1 Lc&(-ax)dx=ax)dx弔 ==(x)*(y)dy(x) dx 匚」(x)6(ax

18、)dxt=J”f(±)6(t)丄dt=」f(0)=匸丄f(x^(x)dx ■■a thx.aa a::0:: .；f(x)'(ax)dx「：:f(x)'(—|a|x)dx二-oO ::L才lx二tdtJ(x)(|a|x)dx「】(|7|)⑴和 t斗a|x:: f(0)|a| 6.、(x-a)、(x-b)dx=、?(a-b) f(a)[l.(x_a)、(x_b)dx]da(x_b)[一f(a)；「(x_a)da]dx(x_b)f(a)dxJJJJJ Mi」二f(b)f(a)L(a_b)]da -COd、(x-x0)’，df、，’、 乂+訂“廠佝) b ff

19、(x)’7、adx bd6(x—x0)pb ?f(x)"dx=f(X)、(X-Xo)|abdfdf dx 8.「V)(-X)=(-1)「5)(X)由：(-X)二、.(x)=J?(-x)=(-1)n(n)(x)9.x、(x)二-'(x) Q0Q0 xj(x)dx=x、(x)「:一-、(x)dx du(x)-/、10.(x)u(x)為階躍函數(shù) dxdu(x) ...f(x)dx=__f(x)du(x)=f(x)u(x)|.…f(x)u(x)dx=f(：：)-f(x)dx—Q_J”Y——GU0 =f(G-[f(：：)-f(O)]=f(O)=：f(x

20、)、(x)dx7皿 11.若方程」(x)=0只有單根，分別為 X(i=1,2,3川)則6^(x)]=Z i 「(X—Xi) |：'(x)| 證明：取只包含Xi的區(qū)間(Xi-；，Xi?；)(；0)計算積分x?；y=(x)亠：) x-f(x)「(x)]dXdyj(x)d—_)f(x)'(yL x?；y=(x)亠：) x-f(x)「(x)]dXdyj(x)d—_)f(x)'(yL dy :(x) 弋,2° f(Xi)cp'(x)c0 一(x)‘(Xi)0 f(x) I：'(x)| 于是 于是 -be _::f(xr-[(x)]dx八 i f

21、(xj：：::、(x—x) 帀】(X"Xi)dX"(Xi)；f(x)[iT^7]dx 則有［(x)］二為 i 則有［(x)］二為 i '(x-Xj) I：'(Xi)| 特例 $I：：x-a 1 a_b 戶：〔x_a廠心ix_b 、x2 1 _a舊“2a§(x_a)+6(x+a)i= 1、x_a、xa了x 2x §29.3j.函數(shù)的付氏積分 oO.1 :.xc■exd=c a.6(x)=lim’[ecyd? kY2兀.上 1cOi =d6(x)=——(e^'^d?2-2二； 1sinkx一 =lim:該極限并不存在但對于a.0：：：bk；：二x b1sinkx1::siny,_m; nzk m; nzk dxdy=1a二X7：::y b.6(x)=lim丄汀住聲船國+[1=lim丄2名24訊2兀Pm°」&肝兀/+x2 §29.4三維：函數(shù)及其付氏積分 r=r° ；：「11fr、?r-r°dr=fr° r“o:: =1 L 44°° XrT°)=<0'…3 fJ2(r-r°)dr a胡-r°)=j”c(k)ekZd3k _oQ泌;0尸盤驢W"一小…叱九）