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1、第五章 彎曲強(qiáng)度,材料力學(xué),5-1 純彎曲及其變形 5-2 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力 5-3 橫力彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件 5-7 提高梁彎曲強(qiáng)度的主要措施,5-1 純彎曲及其變形,彎曲構(gòu)件橫截面上的（內(nèi)力）應(yīng)力,內(nèi)力,某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒有剪力時，該段梁的變形稱為純彎曲。,純彎曲(Pure Bending):,5-1 純彎曲及其變形,5-2純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力,一、 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力,1.梁的純彎曲實驗,橫向線(mm、nn）變形后仍為直線，但有相對轉(zhuǎn)動，仍垂直于梁變形后的軸線。,（一）變形幾何關(guān)系：,縱向線(aa、bb)變?yōu)榍€，且上縮下伸；橫向線與縱

2、向線變形后仍正交。,5-2純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力,彎曲變形與受力的假設(shè),平面假設(shè),梁的橫截面在梁彎曲變形后仍保持為平面，且仍與變形后的梁軸線垂直。,梁的縱向纖維為單向應(yīng)力狀態(tài)，互無擠壓。,橫截面上只有正應(yīng)力,5-2純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力,中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱中性層。,中性軸：中性層與橫截面的交線。,5-2純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力,2.變形幾何關(guān)系,取一微段dx,5-2純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力,（二）物理關(guān)系：,5-2純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力,（三）靜力學(xué)關(guān)系：,中性軸z必通過橫截面形心,5-2純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力,y軸

3、和z軸是橫截面的主形心軸,其中EIz 表征桿件抵抗彎曲變形的能力，稱為抗彎剛度。,5-2純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力,由該式可知橫截面上各點正應(yīng)力大小與各點到中性軸的距離成正比，中性軸上各點正應(yīng)力為零，離中性軸最遠(yuǎn)點正應(yīng)力最大。,上述分析是在平面假設(shè)下建立的，對于橫力彎曲，由于橫截面上還有剪力，變形后截面會發(fā)生翹曲，平面假設(shè)不再成立。當(dāng)截面尺寸與梁的跨度相比很小時，翹曲很小，仍可按平面假設(shè)分析，上面公式仍可使用。,5-2純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力,【例】 長為的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F ，已知h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m，a=2m，F(xiàn)=1.5kN。試求C截面上K點的正

4、應(yīng)力。,解：C截面的彎矩,截面對中性軸的慣性矩,代入應(yīng)力公式,（拉應(yīng)力）,5-2純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力,5-3 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件,梁某截面上的最大正應(yīng)力,Wz 稱為抗彎截面模量 反映截面形狀和尺寸對彎曲強(qiáng)度的影響。 單位：m3。,等截面梁的最大正應(yīng)力,矩形截面,圓形截面,環(huán)形截面,5-3 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件,梁要安全工作，必須滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件,正應(yīng)力強(qiáng)度條件：,對于等截面梁,根據(jù)強(qiáng)度條件可進(jìn)行下述工程計算：,強(qiáng)度校核；,設(shè)計截面尺寸；,確定容許荷載。,5-3 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件,【例】一矩形截面的簡支木梁，梁上作用有均布載荷，已知：l=4m，b=140mm， h=210mm，q=3kN

5、/m，彎曲時木材的許用正應(yīng)力=10MPa。試校核該梁的強(qiáng)度。,解：畫出梁的彎矩圖,滿足強(qiáng)度條件,5-3 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件,【例】針對上題，試求梁能承受的最大載荷qmax。,解：由強(qiáng)度條件,5-3 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件,【例】簡支梁上作用兩個集中力，已知：l=6m，F(xiàn)1=15kN， F2=21kN。如果梁采用熱軋普通工字鋼，鋼的許用應(yīng)力=170MPa，試選擇工字鋼的型號。,解：畫出梁的彎矩圖,選擇20a工字鋼,5-3 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件,【例】一T形截面的外伸梁如圖所示，已知：l=0.6m，a=40mm ，b=30mm，c=80mm，F(xiàn)1=24kN， F2=9kN，材料的許用拉應(yīng)力t=30MPa

6、，許用壓應(yīng)力c=90MPa。試校核梁的強(qiáng)度。,解：畫出梁的彎矩圖,M圖,5-3 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件,校核應(yīng)力,5-3 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件,C截面，上壓下拉,B截面，上拉下壓,5-3 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件,綜上,滿足強(qiáng)度要求,5-3 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件,5-7 提高梁彎曲強(qiáng)度的主要措施,梁的設(shè)計主要依據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)度條件，即,可從降低最大彎矩Mmax和增大抗彎截面模量Wz來考慮提高梁的強(qiáng)度。,一、降低梁的最大彎矩,a)、合理布置梁的最大彎矩,Fl/8,M圖,5-7 提高梁彎曲強(qiáng)度的主要措施,b)、合理改變支座位置,通過改善梁的受力情況，以降低梁的最大彎矩，從而提高梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。,5-7 提高梁彎曲強(qiáng)

7、度的主要措施,二、梁合理的截面形狀,梁的抗彎截面模量Wz與截面尺寸和形狀有關(guān)，截面面積相同的情況下， Wz越大截面形狀越合理。,下面對矩形、方形、圓形截面加以比較。,5-7 提高梁彎曲強(qiáng)度的主要措施,矩形截面比方形截面好,方形截面比圓形截面好,5-7 提高梁彎曲強(qiáng)度的主要措施,以矩形截面梁為例，橫截面的正應(yīng)力沿截面高度線性分布，當(dāng)上下邊緣的應(yīng)力達(dá)到容許應(yīng)力時，中性軸附近材料遠(yuǎn)比容許應(yīng)力，沒能充分發(fā)揮材料作用，若將這部分材料移到離中性軸較遠(yuǎn)處，就可極大地提高梁的承載能力。故工字形截面、槽形截面、T 形截面均比矩形截面好。,5-7 提高梁彎曲強(qiáng)度的主要措施,對于等截面梁，按強(qiáng)度條件只有Mmax截面

8、上的最大正應(yīng)力才達(dá)到，而其它截面上的最大正應(yīng)力均沒達(dá)到。,三、變截面梁,若采用變截面梁，使各截面上的最大正應(yīng)力同時達(dá)到，此梁工程上稱為等強(qiáng)度梁。,5-7 提高梁彎曲強(qiáng)度的主要措施,變截面梁,5-7 提高梁彎曲強(qiáng)度的主要措施,5-4 矩形截面梁的切應(yīng)力,切應(yīng)力分布和方向假設(shè)：,切應(yīng)力與剪力方向平行； 矩中性軸等距離處，切應(yīng)力 相等。切應(yīng)力沿橫截面寬度均勻分布,5-4 矩形截面梁的切應(yīng)力,平衡條件：,研究方法：分離體平衡。,5-4 矩形截面梁的切應(yīng)力,面積A*對橫截面中性軸的靜矩,A*為橫截面上距中性軸為y的橫線以外部分的面積,5-4 矩形截面梁的切應(yīng)力,為截面求應(yīng)力那點到截面邊緣所圍面積對中性軸

9、的靜矩。,A*,max,由上式可知，橫截面各點切應(yīng)力是各點坐標(biāo)y 的2次函數(shù)，切應(yīng)力的大小沿截面高度呈拋物線分布。中性軸上切應(yīng)力最大，上下邊緣切應(yīng)力為零。,5-4 矩形截面梁的切應(yīng)力,【例】 一矩形截面簡支梁如圖所示，已知l=3m，h=160mm，b=100mm， h1=40mm，F(xiàn)=3kN，試求mm截面上K點的切應(yīng)力。,解：mm截面的剪力,截面對中性軸的慣性矩,（拉應(yīng)力）,K點的切應(yīng)力,5-4 梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件,梁要安全工作，必須同時滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件和切應(yīng)力強(qiáng)度條件。,對于梁的某一截面,對于整個梁,5-4 梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件,簡單截面的最大切應(yīng)力可用簡化公式計算，即,5-4 梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件,需要校核剪應(yīng)力的幾種特殊情況：,鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時，要校核腹板的切應(yīng)力。,梁的跨度較短，M較小，而FS較大時，要校核切應(yīng)力。,各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核中性軸上切應(yīng)力。,5-4 梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件,【例】 一外伸工字型鋼梁，工字鋼的型號為22a，梁上載荷如圖所示。已知l=6m，F(xiàn)=30kN，q=6kN/m，材料的容許應(yīng)力=170MPa， =100MPa。試檢查此梁是否安全。,解：畫剪力圖和彎矩圖,M圖,FS圖,查表得,滿足強(qiáng)度條件，梁安全,