《理解數(shù)學(xué)理解學(xué)生理解教學(xué)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《理解數(shù)學(xué)理解學(xué)生理解教學(xué)（76頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、理解數(shù)學(xué)理解學(xué)生理解教學(xué),人民教育出版社章建躍zhangjy,一、課改中形成的基本共識(shí),核心：以學(xué)生的全面、和諧與可持續(xù)發(fā)展為本教育中的“科學(xué)發(fā)展觀”教學(xué)目標(biāo)全面關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知、能力和理性精神，以學(xué)生最近發(fā)展區(qū)為定向，促進(jìn)學(xué)生全面、和諧、可持續(xù)發(fā)展數(shù)學(xué)育人。,教學(xué)要求個(gè)性差異與統(tǒng)一要求的辯證統(tǒng)一，但以個(gè)性差異為出發(fā)點(diǎn)和基礎(chǔ)教學(xué)設(shè)計(jì)不僅從內(nèi)容的教學(xué)需要預(yù)設(shè)提問(wèn)、講授、訓(xùn)練等，而且特別強(qiáng)調(diào)課堂“生成”，預(yù)設(shè)能引發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究的“開放性問(wèn)題”，乃至強(qiáng)調(diào)“看過(guò)問(wèn)題三百個(gè)，不會(huì)解題也會(huì)問(wèn)”教學(xué)方法講授、問(wèn)答、訓(xùn)練的綜合，不再是單一的講授或活動(dòng)，是教師主導(dǎo)取向的講授式和學(xué)生自主取向的活動(dòng)式的融合

2、，強(qiáng)調(diào)“啟發(fā)式講授”的重要性,學(xué)習(xí)方式接受與探究的融合，強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性、積極性，獨(dú)立思考和合作學(xué)習(xí)的結(jié)合教學(xué)過(guò)程知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程（自然、水到渠成）為載體的學(xué)生認(rèn)知過(guò)程，以學(xué)生為主體的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的展開、深度參與（教學(xué)的有效性）,教學(xué)評(píng)價(jià)教師根據(jù)教學(xué)進(jìn)程進(jìn)行教學(xué)反饋、調(diào)節(jié)，學(xué)生通過(guò)自我監(jiān)控調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)進(jìn)程，重視形成性評(píng)價(jià)發(fā)展的眼光教學(xué)媒體追求“必要性”“平衡性”“廣泛性”“實(shí)踐性”“有效性”，服務(wù)于數(shù)學(xué)概念、原理的實(shí)質(zhì)理解,教改只能成功不能失敗，因?yàn)槿瞬诺某砷L(zhǎng)沒有重復(fù)機(jī)會(huì)，教育要絕對(duì)避免“折騰”。教改必須“大膽創(chuàng)新，謹(jǐn)慎實(shí)踐”。當(dāng)前，與教育的本質(zhì)相悖的“功利化”現(xiàn)象還占據(jù)主導(dǎo)地

3、位，需要我們共同努力，為教育的理想而奮斗。,二、當(dāng)前存在的主要問(wèn)題,數(shù)學(xué)教學(xué)“不自然”，強(qiáng)加于人，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣與內(nèi)部動(dòng)機(jī)都有不利影響；缺乏問(wèn)題意識(shí)，對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力培養(yǎng)不利；重結(jié)果輕過(guò)程，“掐頭去尾燒中段”，關(guān)注知識(shí)背景和應(yīng)用不夠，導(dǎo)致學(xué)習(xí)過(guò)程不完整；,重解題技能、技巧輕普適性思考方法的概括，方法論層次的內(nèi)容滲透不夠，機(jī)械模仿多獨(dú)立思考少，數(shù)學(xué)思維層次不高；講邏輯而不講思想，關(guān)注數(shù)學(xué)思想、理性精神不夠，對(duì)學(xué)生整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高不利。,三、提高“理解數(shù)學(xué)”的水平,老師理解好數(shù)學(xué)是提高教學(xué)質(zhì)量的前提。理解數(shù)學(xué)概念的幾個(gè)方面：從表面到本質(zhì)把握概念的深層結(jié)構(gòu)上的進(jìn)步；從抽象到具體對(duì)抽象

4、概念的形象描述，解讀概念關(guān)鍵詞，更多的典型、精彩的例子；,從孤立到系統(tǒng)對(duì)概念之間的關(guān)系、聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，有層次性、立體化的認(rèn)識(shí)；等。提高解讀概念所反映的數(shù)學(xué)思想方法的能力是教師專業(yè)化發(fā)展的抓手。教師培訓(xùn)的當(dāng)務(wù)之急是提高理解數(shù)學(xué)的水平，提高數(shù)學(xué)概念的教學(xué)理解水平，觀念只有落實(shí)在具體內(nèi)容中才能發(fā)揮力量。,例1幾個(gè)數(shù)學(xué)概念的理解,如何理解誘導(dǎo)公式？推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)求和公式的思想方法是什么？如何理解“兩個(gè)變量的線性相關(guān)”？,四、課堂教學(xué)的高立意與低起點(diǎn),立意不高是普遍問(wèn)題，許多教師的“匠氣”太濃，課堂上題型、技巧太多，彌漫著“功利”，缺少思想、精神的追求，嚴(yán)重影響數(shù)學(xué)育人。,數(shù)學(xué)的“育人”功能如何體現(xiàn)？

5、挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)含的價(jià)值觀資源，在教學(xué)中將知識(shí)教學(xué)與價(jià)值觀影響融為一體。關(guān)鍵：提高思想性?！凹夹g(shù)”：加強(qiáng)“先行組織者”的使用。,例2不等式基本性質(zhì)“立意”比較,以往做法：數(shù)軸上點(diǎn)的順序定義數(shù)的大小關(guān)系，再到“基本事實(shí)”（考察兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差），再由“利用比較實(shí)數(shù)大小的方法，可以推出下列不等式的性質(zhì)”：性質(zhì)1，2，3證明例題練習(xí)、習(xí)題,“高立意低起點(diǎn)”的教學(xué)設(shè)計(jì),數(shù)軸上點(diǎn)的順序定義數(shù)的大小關(guān)系，再到“基本事實(shí)”（考察兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小可以統(tǒng)一化歸為比較它們的差與0的大?。粡摹皵?shù)及其運(yùn)算”的高度出發(fā)，以“運(yùn)算中的不變性、規(guī)律性就是性質(zhì)”為思想指導(dǎo)，以等式的基本性質(zhì)為起點(diǎn)，通過(guò)類比等式的

6、基本性質(zhì)，得到不等式基本性質(zhì)的猜想；,回到從“基本事實(shí)”到“基本性質(zhì)”的推理過(guò)程，給出證明；引導(dǎo)學(xué)生用不同語(yǔ)言表述“基本性質(zhì)”；從實(shí)例中概括基本不等式的作用明確概括出思想方法。核心：將等式與不等式納入數(shù)及其運(yùn)算的系統(tǒng)中，成為用運(yùn)算律推導(dǎo)出的“性質(zhì)”。既要講邏輯，更要講思想，加快學(xué)生領(lǐng)悟思想的進(jìn)程。,教學(xué)過(guò)程,先行組織者：解方程要以等式的基本性質(zhì)為依據(jù)；解決不等式的問(wèn)題要以不等式的基本性質(zhì)為依據(jù)。請(qǐng)敘述等式的基本性質(zhì)。你能說(shuō)說(shuō)討論等式的基本性質(zhì)的思想方法嗎？類似的，你能猜想一下不等式的基本性質(zhì)嗎？,閱讀教科書，看看還有哪些性質(zhì)沒有想到？根據(jù)“基本事實(shí)”證明自己的猜想。你能總結(jié)一下等式的基本性質(zhì)和

7、不等式的基本性質(zhì)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法嗎？,五、提高概念的教學(xué)水平,概念教學(xué)中存在的問(wèn)題：概念教學(xué)走過(guò)場(chǎng)，常常采用“一個(gè)定義，三項(xiàng)注意”的方式，在概念的背景、引入上著墨不夠，沒有給學(xué)生提供充分的概括本質(zhì)特征的機(jī)會(huì)，認(rèn)為讓學(xué)生多做幾道題目更實(shí)惠有些老師不知如何教概念,教概念的意義,李邦河院士：數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧技巧不足道也！以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的做法嚴(yán)重偏離了數(shù)學(xué)的正軌，必須糾正否則，學(xué)生在數(shù)學(xué)上耗費(fèi)大量時(shí)間、精力，結(jié)果可能是對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義知之甚少，“數(shù)學(xué)育人”終將落空,概念教學(xué)的核心,概念教學(xué)的核心是概括：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維打開，以典型豐富的實(shí)例為載體，引導(dǎo)

8、學(xué)生展開觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念。,概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié),典型豐富的具體例證屬性的分析、比較、綜合；概括共同本質(zhì)特征得到概念的本質(zhì)屬性；下定義（準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述）；,概念的辨析以實(shí)例（正例、反例）為載體分析關(guān)鍵詞的含義；用概念作判斷的具體事例形成用概念作判斷的具體步驟；概念的“精致”建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。,例3三角函數(shù)定義的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì),復(fù)習(xí)請(qǐng)回答下列問(wèn)題：前面學(xué)了任意角，你能說(shuō)說(shuō)任意角概念與平面幾何中的角的概念有什么不同嗎？引進(jìn)象限角概念有什么好處？在度量角的大小時(shí)，弧度制與角度制有什么區(qū)別？我們是怎樣簡(jiǎn)化弧度制的度量單位的？設(shè)計(jì)意圖：從為學(xué)習(xí)三角函數(shù)概

9、念服務(wù)的角度復(fù)習(xí)；關(guān)注的是思想方法。,先行“組織者”：我們知道，函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。例如指數(shù)函數(shù)描述了“指數(shù)爆炸”，對(duì)數(shù)函數(shù)描述了“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”等。圓周運(yùn)動(dòng)是一種重要的運(yùn)動(dòng)，其中最基本的是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)繞點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其變化規(guī)律該用什么函數(shù)模型描述呢？“任意角的三角函數(shù)”就是一個(gè)刻畫這種“周而復(fù)始”的變化規(guī)律的函數(shù)模型。設(shè)計(jì)意圖：解決“學(xué)習(xí)的必要性”問(wèn)題，明確要研究的問(wèn)題。,問(wèn)題1對(duì)于三角函數(shù)我們并不陌生，初中學(xué)過(guò)銳角三角函數(shù)，你能說(shuō)說(shuō)它的自變量和對(duì)應(yīng)關(guān)系各是什么嗎？任意畫一個(gè)銳角，你能借助三角板，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義找出sin的值嗎？設(shè)計(jì)意圖：從函數(shù)角度重新認(rèn)識(shí)銳角三角

10、函數(shù)定義，突出“與點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)”。問(wèn)題2你能借助象限角的概念，用直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)嗎？設(shè)計(jì)意圖：比值“坐標(biāo)化”。,問(wèn)題3上述表達(dá)式比較復(fù)雜，你能設(shè)法將它化簡(jiǎn)嗎？設(shè)計(jì)意圖：為“單位圓法”作鋪墊。學(xué)生答出“取點(diǎn)P(x，y)使x2+y2=1”后追問(wèn)“為什么可以這樣做？”教師講授：類比上述做法，設(shè)任意角的終邊與單位圓交點(diǎn)為P(x，y)，定義正弦函數(shù)為y=sin，余弦函數(shù)為x=cos。設(shè)計(jì)意圖：“定義”是一種“規(guī)定”；把精力放在定義合理性的理解上。,問(wèn)題4你能說(shuō)明上述定義符合函數(shù)定義的要求嗎？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生用函數(shù)的三要素說(shuō)明定義的合理性，以此進(jìn)一步明確三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則、定義域和值域

11、。例1用定義分別求自變量/2，/3所對(duì)應(yīng)的正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生熟悉定義，從中概括出用定義解題的步驟。例2角的終邊過(guò)P(1/2，/2)，求它的三角函數(shù)值。,三角函數(shù)概念的“精致”,函數(shù)值的符號(hào)問(wèn)題；終邊與坐標(biāo)軸重合時(shí)的三角函數(shù)值；終邊相同的角的同名三角函數(shù)值；與銳角三角函數(shù)的比較：因襲與擴(kuò)張；從“形”的角度看三角函數(shù)三角函數(shù)線，聯(lián)系的觀點(diǎn)；終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)表示的三角函數(shù)；,把實(shí)數(shù)軸想象為一條柔軟的細(xì)線，原點(diǎn)固定在單位點(diǎn)A（1，0），數(shù)軸的正半軸逆時(shí)針纏繞在單位圓上，負(fù)半軸順時(shí)針纏繞在單位圓上，那么數(shù)軸上的任意一個(gè)實(shí)數(shù)（點(diǎn)）t被纏繞到單位圓上的點(diǎn)P（cost，sint）,課

12、堂小結(jié)：（1）問(wèn)題的提出自然、水到渠成，思想高度函數(shù)模型；（2）研究的思想方法與銳角三角函數(shù)的因襲與擴(kuò)張的關(guān)系，化歸為最簡(jiǎn)單也是最本質(zhì)的模型，數(shù)形結(jié)合；（3）歸納概括概念的內(nèi)涵，明確自變量、對(duì)應(yīng)法則、因變量；（4）用概念作判斷的步驟、注意事項(xiàng)等。,六、什么才是“抓基礎(chǔ)”,我國(guó)“雙基”的優(yōu)勢(shì)正在喪失；現(xiàn)象：（1）數(shù)學(xué)教學(xué)=解題教學(xué)=題型教學(xué)=刺激反應(yīng)（記憶、模仿型學(xué)習(xí)）；（2）缺少知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，以訓(xùn)練代替概念教學(xué)應(yīng)用可以促進(jìn)理解，但沒有理解的應(yīng)用是盲目的；,（3）過(guò)分關(guān)注“題型”及對(duì)應(yīng)的技巧技巧，雕蟲小技也，不足道也；技巧無(wú)法窮盡，教技巧的結(jié)果可能是“講過(guò)練過(guò)的不一定會(huì)，沒講沒練的一定不會(huì)

13、”；等。,如何改變？,要強(qiáng)調(diào)知識(shí)及其蘊(yùn)含的思想方法教學(xué)的重要性無(wú)知者無(wú)能；要使學(xué)生養(yǎng)成不斷回到概念去、從基本概念出發(fā)思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的習(xí)慣；解題訓(xùn)練應(yīng)針對(duì)概念的理解和應(yīng)用，而不是讓學(xué)生“對(duì)題型，套技巧”；,加強(qiáng)概念的聯(lián)系性，從概念的聯(lián)系中尋找解決問(wèn)題的新思路解題的靈活性來(lái)源于概念的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，技巧是不可靠的。應(yīng)追求解決問(wèn)題的“根本大法”基本概念所蘊(yùn)含的思想方法，強(qiáng)調(diào)思想指導(dǎo)下的操作。,例4向量加法運(yùn)算及幾何意義的教學(xué)設(shè)計(jì),先行組織者：類比數(shù)及其運(yùn)算，引進(jìn)一個(gè)量就要研究運(yùn)算，引進(jìn)一種運(yùn)算就要研究運(yùn)算律。位移、力的合成、速度的合成等物理原理的回顧。學(xué)生帶著問(wèn)題看書：向量的加法法則的關(guān)鍵詞是什么？

14、你如何理解？,匯報(bào)對(duì)定義和三角形法則、平行四邊形法則的理解，其中特別要注意對(duì)“關(guān)鍵詞”的理解，要求用自己的語(yǔ)言描述。向量a，b不共線，作出a+b，要求說(shuō)明作法。如果向量a，b共線，如何作a+b？與有理數(shù)加法運(yùn)算有什么關(guān)系？從三角形法則我們有，變形有，你怎么看變形？平行四邊形法則的代數(shù)意義是什么？,七、探究式教學(xué)的天時(shí)地利人和,天時(shí)：建設(shè)創(chuàng)新型社會(huì)，教育“以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)”；地利：教學(xué)內(nèi)容是否適合于“探究”有的內(nèi)容不適宜，如公理、定義名稱、規(guī)定等；但更多的內(nèi)容可采用探究式教學(xué)；,例5直線與平面垂直的定義,先“直觀感受”、舉例，再給出定義，并把主要精力放在對(duì)“合理性”的認(rèn)識(shí)上，

15、通過(guò)正、反例理解定義的關(guān)鍵詞。提示學(xué)生：用“說(shuō)得清道得明”的幾何關(guān)系（即“直線與直線垂直”）來(lái)定義“無(wú)法說(shuō)清”的幾何關(guān)系（即“直線與平面垂直”）是一種公理化思想，學(xué)生則只要采用接受式學(xué)習(xí)方式即可。,例6兩個(gè)平面平行的判定問(wèn)題,指導(dǎo)思想：類比兩條直線平行的判定，提出兩個(gè)平面平行的判定的猜想，再給出證明。問(wèn)題1回顧已經(jīng)得到的兩個(gè)平面平行的判定定理，你能說(shuō)說(shuō)得到這些判定定理的思想方法嗎？定義法（原始，不容易說(shuō)清楚），化歸為線面平行（用已知想未知，與平面三公理聯(lián)系等）。,問(wèn)題2從前面學(xué)習(xí)線、面位置關(guān)系的判定可知，判定方法不唯一。你有沒有想過(guò)別的判定方法？問(wèn)題3在研究問(wèn)題時(shí)，類比、推廣、特殊化等是獲得研

16、究成果的常用方法。例如，類比兩條直線相互平行的判定，能否得到一些猜想？學(xué)生可能得到：a，bc，則ab，則；,a，bc，則ab，則；，c，則；兩條直線與第三條直線相交，同位角（內(nèi)錯(cuò)角）相等，或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行能否類比？,人和：師生共同營(yíng)造的“探究氛圍”，有賴于學(xué)生“探究式學(xué)習(xí)的心向”，也有賴于教師的“探究型教學(xué)的意識(shí)”。數(shù)學(xué)思想方法在自主探究中有關(guān)鍵作用，需要教師的啟發(fā)引導(dǎo)注意使用“先行組織者”。,八、怎樣才算“教完了”？,舍不得在概念、原理的發(fā)生發(fā)展過(guò)程上花時(shí)間“這樣能教完嗎？”給學(xué)生吃“壓縮餅干”：基礎(chǔ)知識(shí)“一個(gè)定義，三項(xiàng)注意”；解題教學(xué)“題型教學(xué)”，解題技巧大雜燴，“一步到位”。,

17、問(wèn)題在那里？,不“準(zhǔn)”或者是沒有圍繞概念的核心，或者教錯(cuò)了；不“簡(jiǎn)”在細(xì)枝末節(jié)上下功夫，把簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜化了；不“精”讓學(xué)生在知識(shí)的外圍重復(fù)訓(xùn)練，耗費(fèi)學(xué)生大量時(shí)間、精力卻達(dá)不到對(duì)知識(shí)的深入理解。,例7函數(shù)概念的“注意事項(xiàng)”,集合A，B都是數(shù)集；任意性；唯一性；可以一對(duì)一、多對(duì)一，但不能一對(duì)多；yf(x)是一個(gè)整體，不是f與x的乘積；值域C=f(x)|xA是集合B的子集；函數(shù)的三要素三者缺一不可，值域可由定義域和對(duì)應(yīng)法則唯一確定。,在不適當(dāng)?shù)臅r(shí)候、用不適當(dāng)?shù)姆椒◤?qiáng)調(diào)細(xì)節(jié)，把學(xué)生“教糊涂了”。如何讓學(xué)生體會(huì)“定義域”的重要性：抽象強(qiáng)調(diào)“定義域很重要”，“解析式相同，定義域不同就是不同的函數(shù)”沒有作用

18、。有實(shí)際意義的具體例子最有效：例如：某商品每件5元，總價(jià)y與件數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系；步行速度5km/h，步行距離y與時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系；等。先讓學(xué)生寫出函數(shù)，再問(wèn)“為什么？”“如何區(qū)別”等。,“教完了”應(yīng)該以學(xué)生是否理解為準(zhǔn)，以學(xué)生是否達(dá)成教學(xué)目標(biāo)為準(zhǔn)，特別是學(xué)生達(dá)到的數(shù)學(xué)雙基的理解和熟練水平為標(biāo)準(zhǔn)（注意，雙基包括由內(nèi)容反映的數(shù)學(xué)思想方法），而不是教師在課堂上有沒有把內(nèi)容“講完”。廣種薄收是懶漢的做法。,例8函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì),函數(shù)概念的教學(xué)理解：“變量說(shuō)”到“對(duì)應(yīng)說(shuō)”，引進(jìn)抽象符號(hào)f(x)表示函數(shù)；較全面地學(xué)習(xí)函數(shù)的表示與性質(zhì)；強(qiáng)調(diào)函數(shù)是刻畫運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，因此強(qiáng)調(diào)函數(shù)的背景、思想和

19、應(yīng)用；強(qiáng)調(diào)與方程、不等式的聯(lián)系，注重用函數(shù)觀點(diǎn)理解和解決方程、不等式問(wèn)題；用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，使思想方法和研究手段都上升到全新高度,內(nèi)容安排,先從一般性角度研究函數(shù)概念，使學(xué)生在宏觀上了解函數(shù)的內(nèi)容和方法先行組織者；再以基本初等函數(shù)為載體，感受建立函數(shù)模型的過(guò)程與方法，體會(huì)函數(shù)在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中的應(yīng)用，學(xué)會(huì)用函數(shù)思想解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題,高中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)特點(diǎn),定義抽象、符號(hào)抽象、具體函數(shù)類型多復(fù)雜性提高（連續(xù)的、離散的）、相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系性增強(qiáng)、用更多的工具（實(shí)數(shù)運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)）討論函數(shù)性質(zhì)等特別是，引入具有一般性的抽象符號(hào)f(x)，使學(xué)生能通過(guò)建立模型刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，并通過(guò)討論函數(shù)的性質(zhì)而解

20、釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，認(rèn)識(shí)和把握其中的規(guī)律,教學(xué)設(shè)計(jì)的立意,突出函數(shù)概念的本質(zhì)和建構(gòu)過(guò)程函數(shù)是“科學(xué)的數(shù)學(xué)化”的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)從運(yùn)動(dòng)的研究（變化的量及其關(guān)系）中引出一個(gè)基本概念函數(shù)，或變量間的關(guān)系；變量和函數(shù)，具體變量（時(shí)間、路程、速度、轉(zhuǎn)動(dòng)角、掃過(guò)的面積等）及其相互依賴關(guān)系（如路程對(duì)時(shí)間的依賴關(guān)系等）的抽象概括；函數(shù)是一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的依賴關(guān)系的抽象模型；,在坐標(biāo)系中，一個(gè)量對(duì)另一個(gè)量的依賴關(guān)系可用圖像表示（力學(xué)問(wèn)題和幾何問(wèn)題的關(guān)系路程=曲邊梯形的面積）；19世紀(jì)前函數(shù)概念沒有嚴(yán)格定義，所有函數(shù)都是代數(shù)函數(shù)的推廣；Dirchlet于1837年給出沿用至今的（單值）函數(shù)定義，可以沒有解析式，也可以沒有圖

21、像（如當(dāng)x是有理數(shù)時(shí)y=c，當(dāng)x是無(wú)理數(shù)時(shí)y=d）；函數(shù)作為特殊的映射是后來(lái)的事情。,應(yīng)讓高中生理解到的函數(shù)思想：,函數(shù)是描述變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型；函數(shù)是描述變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型；函數(shù)概念所反映的思想方法：用數(shù)量關(guān)系表示變量之間的依賴關(guān)系，并通過(guò)數(shù)及其運(yùn)算等研究變化規(guī)律；在y=f(x)中，對(duì)應(yīng)法則f可以是公式、圖形、表格或別的什么；等。,搭建概括和領(lǐng)悟函數(shù)概念的“腳手架”鋪設(shè)概括路線：以具有真實(shí)背景的實(shí)例為載體，先從“變量說(shuō)”出發(fā)，并用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言講解對(duì)應(yīng)關(guān)系，再讓學(xué)生自己舉例并說(shuō)明對(duì)應(yīng)關(guān)系，再讓學(xué)生概括實(shí)例的本質(zhì)而形成“對(duì)應(yīng)說(shuō)”在函數(shù)的表示、函數(shù)的性質(zhì)中，不斷強(qiáng)化對(duì)函數(shù)這一特殊“對(duì)應(yīng)

22、關(guān)系”的認(rèn)識(shí)，強(qiáng)化對(duì)函數(shù)所研究的問(wèn)題和思想方法的理解,選擇和用好實(shí)例：例子在學(xué)生理解函數(shù)概念中有奠基性的“參照物”作用，在函數(shù)概念的引入、表示、性質(zhì)和應(yīng)用等各階段，都應(yīng)“用例子說(shuō)話”，為學(xué)生提供思考、探究、交流的機(jī)會(huì)，使學(xué)生在好例子的支持下開展思維，形成函數(shù)概念理解活動(dòng)的強(qiáng)大背景支撐例如：自由落體，路程是時(shí)間的函數(shù)；給定的物體，能量是速度的函數(shù)；電阻一定，熱量Q是電量強(qiáng)度I的函數(shù)；給定銳角A，直角三角形的面積是直角邊的函數(shù)；。都?xì)w結(jié)為：y=1/2ax2。,強(qiáng)調(diào)只能用圖像、表格表示的函數(shù)例子的作用表格、函數(shù)圖像不僅是“表示法”的一種，從促進(jìn)理解的作用看，它們使抽象的函數(shù)符號(hào)形象化，為學(xué)生提供了直

23、觀的機(jī)會(huì)例如圖像的種種形象和基本性質(zhì)使學(xué)生直觀地“看到”、想象到函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等種種性質(zhì)。借助圖像、表格，聚焦于對(duì)應(yīng)關(guān)系的特點(diǎn)，更全面、深刻地領(lǐng)悟“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的本質(zhì)。,給予思想方法的明確引導(dǎo)。如：變化之中保持的“不變性”“規(guī)律性”就是性質(zhì)函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)事物的某些變化會(huì)隨著時(shí)間的推移而有增有減、有快有慢，有時(shí)達(dá)到最大值有時(shí)處于最小值這些現(xiàn)象反映到函數(shù)中，就是函數(shù)值隨自變量的增加而增加或減少、什么時(shí)候函數(shù)值最大、什么時(shí)候函數(shù)值最小這就是我們要研究的函數(shù)性質(zhì)，知道了函數(shù)性質(zhì)也就把握了事物的變化規(guī)律。,加強(qiáng)建立函數(shù)模型的活動(dòng)，深化函數(shù)概念理解采用“歸納式”，在

24、分析、歸納、概括實(shí)例共同本質(zhì)屬性的基礎(chǔ)上，感悟函數(shù)概念及其蘊(yùn)含的思想方法；函數(shù)的抽象程度極高，只有設(shè)法使學(xué)生卷入其中，強(qiáng)化親身體驗(yàn)，啟發(fā)內(nèi)心感悟，激發(fā)心理共鳴，才能真正轉(zhuǎn)化為學(xué)生認(rèn)識(shí)客觀規(guī)律、解決實(shí)際問(wèn)題的強(qiáng)大武器,教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì),問(wèn)題1同學(xué)們?cè)诔踔幸褜W(xué)過(guò)“函數(shù)”，請(qǐng)舉幾個(gè)函數(shù)的例子設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)舉例回顧“變量說(shuō)”教師根據(jù)學(xué)生的例子，引導(dǎo)他們明確變量、自變量、函數(shù)、唯一確定、對(duì)應(yīng)等關(guān)鍵詞。教師也可以參與舉例，但讓學(xué)生判斷是否為函數(shù)，并要求說(shuō)明理由,問(wèn)題2（追問(wèn)）你憑什么說(shuō)自己舉的是函數(shù)？為什么？其他同學(xué)也思考一下？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生用概念解釋問(wèn)題，了解他們對(duì)函數(shù)本質(zhì)的理解狀況注意突出“兩個(gè)變量x

25、，y”，對(duì)于變量x的“每一個(gè)”確定的值，變量y有“唯一”確定的值與x對(duì)應(yīng)，“y是x的函數(shù)”特別要求學(xué)生指出對(duì)應(yīng)關(guān)系是什么？x取哪些數(shù)？即取值范圍，感受數(shù)集A的存在，y值的構(gòu)成情況，為引入兩個(gè)數(shù)集做準(zhǔn)備,問(wèn)題3看下面的例子，它們是函數(shù)嗎？為什么？,例1圖1中的曲線記錄了2009年2月20日上午9：30至下午3：00上海證交所股價(jià)指數(shù)變動(dòng)的情況這是一個(gè)函數(shù)嗎？為什么？例2下面是某運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練中射擊序號(hào)與中靶環(huán)數(shù)的對(duì)應(yīng)表：序號(hào)12345678910環(huán)數(shù)8888888888環(huán)數(shù)是序號(hào)的函數(shù)嗎？改為下表呢？序號(hào)12345678910環(huán)數(shù)87896889810,追問(wèn)：你能自己舉一些類似的例子嗎？設(shè)計(jì)意

26、圖：讓學(xué)生體會(huì)存在用表格、圖像表示的函數(shù)。問(wèn)題4你能概括一下上述實(shí)例中的對(duì)應(yīng)關(guān)系的共同特征嗎？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生獲得函數(shù)概念的內(nèi)涵要素。問(wèn)題5請(qǐng)看書，并敘述函數(shù)概念。你認(rèn)為這里的函數(shù)定義與初中的函數(shù)定義有什么聯(lián)系與區(qū)別？,例1填寫下列表格：例2函數(shù)yx2的對(duì)應(yīng)關(guān)系是什么？你能用一個(gè)具體背景說(shuō)明這一對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？設(shè)計(jì)意圖：聚焦對(duì)應(yīng)關(guān)系，鞏固概念，學(xué)習(xí)用函數(shù)概念作判斷的基本操作。學(xué)生先獨(dú)立完成再師生共同講評(píng)。,練習(xí)1請(qǐng)舉出對(duì)應(yīng)關(guān)系f只能用圖像或表格表示的函數(shù)例子，并用函數(shù)定義說(shuō)明你舉的例子的確是函數(shù)練習(xí)2下圖表示一個(gè)函數(shù)嗎？為什么？yOx,練習(xí)3下列函數(shù)中哪個(gè)與yx相同，為什么？設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函

27、數(shù)概念中“三要素”的整體性兩函數(shù)相同，當(dāng)且僅當(dāng)三要素相同練習(xí)2是一個(gè)反例，目的是認(rèn)識(shí)“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的特點(diǎn),小結(jié)通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)函數(shù)概念有了哪些新的認(rèn)識(shí)？還有哪些收獲？要點(diǎn)：“對(duì)應(yīng)說(shuō)”的概括過(guò)程；如何理解“對(duì)應(yīng)關(guān)系f”；等設(shè)計(jì)意圖：回顧函數(shù)概念的概括過(guò)程，體會(huì)通過(guò)歸納具體事例的共同本質(zhì)特征得出數(shù)學(xué)概念的方法；體會(huì)用函數(shù)概念描述變量之間依賴關(guān)系的過(guò)程與方法；體會(huì)抽象符號(hào)f：AB的含義,目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)（1）教科書的相關(guān)習(xí)題。（2）用盡量多的具體情境解釋函數(shù)y=ax2（x0）的對(duì)應(yīng)關(guān)系（3）聯(lián)系自己的生活經(jīng)歷和實(shí)際問(wèn)題，舉出一些函數(shù)的實(shí)例希望包括一些只能用圖像或表格表示的函數(shù)設(shè)計(jì)意圖：加深“對(duì)應(yīng)關(guān)系

28、”的理解學(xué)生能舉出豐富的函數(shù)例子，是理解函數(shù)概念的重要標(biāo)志,九、重結(jié)果輕過(guò)程的危害,數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)。數(shù)學(xué)思想方法孕育于知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程中。“思想”是概念的靈魂，是“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的源泉，是從技能到能力的橋梁；“過(guò)程”是“思想”的載體，是領(lǐng)悟概念本質(zhì)的平臺(tái)，是思維訓(xùn)練的通道，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的土壤。,沒有過(guò)程=沒有思想；沒有思想就難以理解概念的實(shí)質(zhì)；缺乏數(shù)學(xué)思想方法的紐帶，概念間的關(guān)系無(wú)法認(rèn)識(shí)、聯(lián)系也難以建立，導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)缺乏整體性，其可利用性、可辨別性和穩(wěn)定性等“功能指標(biāo)”都會(huì)大打折扣。沒有“過(guò)程”的教學(xué)把“思維的體操”降格為“刺激反應(yīng)”訓(xùn)練，是教育功利化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的集中表現(xiàn)。,例9

29、“遞推數(shù)列”的教學(xué),常見做法歸納題型，總結(jié)技巧：1利用a1=S1，an=SnSn-12an+1=kan+b型，分k=1和k1討論，k1時(shí)，設(shè)an+1+m=k（an+m），3an+1=kan+f(n)型，分k=1、f(n)是否可求和，k1、f(n)=an+b，f(n)=qn(q0，1)，等；4an+1=f(n)an型；5.an+2=pan+1+qan(p、q為常數(shù))型；題型套題型，題型何其多，沒有思想方法作為主線，雜亂無(wú)章。,an+1=pan+q型通項(xiàng)公式的教學(xué)設(shè)計(jì),求an+1=pan+q型數(shù)列通項(xiàng)公式問(wèn)題，一般地，抽象問(wèn)題具體化、一般問(wèn)題特殊化是研究問(wèn)題的基本策略。問(wèn)題1已知a1=1，an+1

30、=2an+1（nN*），求通項(xiàng)公式。問(wèn)題2已知a1=1，an+1=2an+3（nN*），求通項(xiàng)公式。問(wèn)題3已知a1=1，an+1=2an+q（nN*），求通項(xiàng)公式。,問(wèn)題4已知a1=1，an+1=3an+1（nN*），求通項(xiàng)公式。問(wèn)題1、2、3可以“湊”，但問(wèn)題4不能，怎么辦？注意觀察前三個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程，轉(zhuǎn)化得到的結(jié)構(gòu)有什么共性？對(duì)解決問(wèn)題4有什么啟發(fā)？結(jié)論：都轉(zhuǎn)化為an+1+t=k(an+t)的形式。問(wèn)題5一般地，對(duì)于a1=a，an+1=pan+1+q，如何求通項(xiàng)公式？因?yàn)橥茝V到了“同類事物”，所以要注意“完備性”，細(xì)節(jié)、特例的追究。,結(jié)束語(yǔ),教育改革需要一定的理想化色彩；教育包括“生命的教育”和“生活的教育”，不要忘記“教學(xué)生做人、做事”的雙重職責(zé)；教研應(yīng)該成為我們的生活方式，學(xué)而時(shí)習(xí)之，思想到了極致則開悟；,能力的來(lái)源：信心，精進(jìn)，正念，定力，智慧；為人師表默而識(shí)之，學(xué)而不厭，誨人不倦。,敬請(qǐng)批評(píng)指正謝謝,